[論文レビュー] Lectures on Periodic Homogenization of Elliptic Systems

Zhongwei Shen|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 6

ひとこと要約

この独著は、発散型で周期的係数をもつ2階楕円型系に対して、鋭い収束速度および一様な正則性推定を確立する。漸近展開、フラックス補正子、実変数法を用いて、ε > 0 に対して一様に、H¹およびLpノルムにおける最適なO(ε)収束を証明し、グリーン関数およびノイマン関数の漸近展開を導出し、層間ポテンシャルおよびRellich型恒等式を用いて、Lipschitz領域におけるL²境界推定を確立する。

ABSTRACT

In recent years considerable advances have been made in quantitative homogenization of partial differential equations in the periodic and non-periodic settings. This monograph surveys the theory of quantitative homogenization for second-order linear elliptic systems in divergence form with rapidly oscillating periodic coefficients, $$ \mathcal{L}_\e =- ext{ m div} \big (A(x/\e) abla \big), $$ in a bounded domain $Ω$ in $\br^d$. It begins with a review of the classical qualitative homogenization theory, and addresses the problem of convergence rates of solutions. The main body of the monograph investigates various interior and boundary regularity estimates (Hölder, Lipschitz, $W^{1, p}$, nontangnetial-maximal-function) that are uniform in the small parameter $\e>0$. Additional topics include convergence rates for Dirichlet eigenvalues and asymptotic expansions of fundamental solutions, Green functions, and Neumann functions. Part of this monograph is based on lecture notes for courses the author taught at several summer schools and at the University of Kentucky. Much of material in Chapters 6 and 7 is taken from his joint papers \cite{KLS-2013, KLS-2014} with Carlos Kenig and Fang-Hua Lin, and from \cite{KS-2011-L} with Carlos Kenig.

研究の動機と目的

• 急速に振動する周期的係数をもつ楕円型系の解の定量的収束速度を確立すること。
• スケールパラメータεに依存しない、一様な内部および境界正則性推定（Hölder、Lipschitz、W¹,p）を導出すること。
• ε → 0 のときの基本解、グリーン関数、ノイマン関数の漸近展開を提供すること。
• 層間ポテンシャルの手法を用いて、Lipschitz領域におけるL²ディリクレ問題およびノイマン問題を最適推定で解くこと。
• 古典的結果を周期的均質化設定に拡張し、Lipschitz領域における大スケールのRellich型推定および正方形関数の境界を示すこと。

提案手法

• 形式的な2スケール漸近展開を用いて、均質化作用素L₀を導出し、補正子を構成する。
• フラックス補正子およびε滑らか化技術を適用して、係数行列Aに滑らかさの仮定を置かずに、H¹およびLpノルムにおける誤差を制御する。
• コンパクトネス法を用いて、微視的スケールεまで及ぶ内部および境界Lipschitz推定を証明する。
• 実変数法（Calderón–Zygmundの双対）を導入し、弱い逆Hölder不等式を介してLpおよびW¹,p推定を確立する。
• 層間ポテンシャルの手法を用いて、境界値問題を境界上の積分方程式に還元する。
• 部分積分およびエネルギー推定を適用して、Lipschitz領域における大スケールのRellich恒等式および正方形関数推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的係数をもつ楕円型系に対して、H¹およびLpノルムにおける解の収束速度の最適値は何か？
• RQ2 εに一様に成立する境界正則性推定（Hölder、Lipschitz、W¹,p）をどのように確立できるか？
• RQ3 ε → 0 のときのグリーン関数およびノイマン関数の漸近展開は何か？また、補正子とどのように関係するか？
• RQ4 Lipschitz領域におけるL²境界値問題（ディリクレ、ノイマン、正則性）をεに一様な推定でどのように解けるか？
• RQ5 大スケールにおけるRellich恒等式および正方形関数推定は、境界挙動を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 係数行列Aに滑らかさの仮定を置かずに、ディリクレ補正子を含む2スケール展開に対して、H¹ノルムにおけるO(ε)収束速度が確立される。
• グリーン関数Gε(x,y)およびその導関数の漸近展開がε → 0 のとき導出され、誤差項は適切なノルムでO(ε)で有界である。
• Lipschitz領域におけるL²ディリクレ問題に対して、解はεに一様に、正方形関数推定‖∇uε‖_{L²(dist dx)} ≤ C‖f‖_{L²(∂Ω)} を満たす。
• 誤差uε − u₀ − εχ(x/ε)∇u₀のH¹/²ノルムがCε‖u₀‖_{H²(Ω)}で有界であることを示し、H¹における最適収束を証明する。
• 部分積分を用いて大スケールのRellich推定を確立し、ディリクレ問題における境界データのL²およびH¹(∂Ω)における制御を可能にする。
• 層間ポテンシャルの手法により、Lipschitz領域におけるディリクレ問題およびノイマン問題の最適L²推定が得られ、εに依存しない境界を示す。