[論文レビュー] Lectures on perverse sheaves on instanton moduli spaces

Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、 perverse sheaves と stable envelopes を用いて、インスタントンモジュライ空間の幾何的表現論枠組みを構築し、Uhlenbeck のコンパクト化の T-不変交差コホモロジーと、アフィンリー代数および W-代数の表現論との間の関係を確立する。主な結果は、モジュライ空間の生成関数が W-代数の Verma 加群における Whittaker ベクトルをなすことであり、これは ADE 型のゲージ群に対して、AGT 対応の厳密な数学的実現をもたらす。

ABSTRACT

I will explain my joint paper `Instantons moduli spaces and W-algebras' with A.Braverman, M.Finkelberg, arXiv:1406.2381. I will concentrate on the geometric part, that is a study of perverse sheaves on instanton moduli spaces. I place a particular emphasize on the hyperbolic restriction functor and stable envelop, which are our key tools, and appear also in other situations in geometric representation theory. These are lecture notes for a course in 2015 PCMI.

研究の動機と目的

• R⁴ 上のインスタントンモジュライ空間の幾何的表現論を、 perverse sheaves と stable envelopes を用いて確立すること。
• Uhlenbeck コンパクト化の T-不変交差コホモロジーと、アフィンリー代数および W-代数の表現論との関係を確立すること。
• Nekrasov 分割関数をモジュライ空間のコホモロジー不変量として実現することにより、AGT 対応の数学的基盤を提供すること。
• A 型から ADE 型に結果を一般化し、W-代数がトポロジカル不変量をどのように符号化するかに注目すること。

提案手法

• R⁴ 上のフレームドインスタントンモジュライ空間の Uhlenbeck の部分コンパクト化を、中心的な幾何的対象として用いる。
• Maulik-Okounkov が導入した stable envelopes を、Braden の双曲的制限を用いて再定式化し、コホモロジー群間の自然な同型を構成する。
• T × C× × C× に関する perverse sheaves と T-不変コホモロジーを用いる。ここで T はフレームの変更作用をし、C× × C× は C² = R⁴ に作用する。
• convolution 代数と Ext-代数の同型（CG, §8.6 からのもの）を用い、層論的構成を表現論的構造と関連付ける。
• Frenkel-Zhu よりの W-代数理論を用い、コホモロジー不変量を頂点代数モジュールとして解釈する。
• 導来圏における T-不変層の理論と Borel-Moore コホモロジー（[BL] および [more] に従う）を基盤として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Uhlenbeck コンパクト化されたインスタントンモジュライ空間上の perverse sheaves は、どのようにアフィンリー代数および W-代数の表現を実現するか？
• RQ2 フレームドインスタントンが R⁴ 上に存在する文脈において、stable envelope の構成の正確な幾何的意味は何か？
• RQ3 モジュライ空間の T-不変交差コホモロジーは、Nekrasov 分割関数をどのように符号化し、共形場理論と関係づけるか？
• RQ4 モジュライ空間上の基本的サイクルの和が、なぜ W-代数の Verma 加群における Whittaker ベクトルに対応するのか？
• RQ5 インスタントンモジュライ空間のコホモロジーに W-代数構造が現れる、本質的な幾何的根拠は何か？

主な発見

• 生成関数 ∑d[𝒰ᴳᵈ] が、ゲージ群 G に付随する W-代数の Verma 加群における Whittaker ベクトルとして同定される。
• T×C××C× に関する交差コホモロジー群 IH*_{T×C××C×}(𝒰ᴳᵈ) は、W-代数の自然な作用を備えており、AGT 対応を数学的に厳密に実現する。
• stable envelope の構成は、Uhlenbeck コンパクト化内の異なるストラタのコホモロジー群の間の自然な同型を提供し、W-代数作用を定義するために不可欠である。
• A 型の場合、Gieseker コンパクト化 ̃𝒰ʳᵈ 上の等化コホモロジー類 e(𝒱)ʳ は、正則の穴を持つシリンダーに対応し、Nekrasov 分割関数と関係づけられる。
• ̃𝒰ʳᵈ の次元は 2dr であり、e(𝒱)ʳ の次数と一致するため、T-不変設定におけるコホモロジー的自然性が裏付けられる。
• この構成は ADE 型へ一般化可能であり、W-代数表現は R⁴ 上のフレームドインスタントンのモジュライ空間の幾何から生じる。