[論文レビュー] Lectures on Poisson groupoids

Camille Laurent-Gengoux, Mathieu Stiénon+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 44被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、ポアソン群ガロアとその無限小対応物であるリー双ベクトルバンドルの理論を展開し、準リー双ベクトルバンドルおよびポアソンニエンヒイズ構造の統合を可能にする普遍的リフト定理を確立する。主な貢献は、準ポアソン群ガロアのハミルトニアン空間と $D/G$-値のモーメンタム写像をもつ準ポアソン空間との間の全単射の証明であり、アレクセエフとコスマン＝シュバルツバックのモーメンタム写像理論がポアソン幾何学の枠組みの中で統一されることを示す。

ABSTRACT

In these lecture notes, we give a quick account of the theory of Poisson groupoids and Lie bialgebroids. In particular, we discuss the universal lifting theorem and its applications including integration of quasi-Lie bialgebroids, integration of Poisson Nijenhuis structures and Alekseev and Kosmann-Schwarzbach's theory of D/G-momentum maps.

研究の動機と目的

• ポアソン群とシンプレクティック群ガロアの一般化として、ポアソン群ガロアおよびその無限小対応物であるリー双ベクトルバンドルの包括的理論の構築。
• 準リー双ベクトルバンドルをポアソン群ガロアに統合するための中心的道具としての普遍的リフト定理の確立。
• アレクセエフとコスマン＝シュバルツバックの $D/G$-モーメンタム写像理論を、準ポアソン群ガロアの枠組みの中で統一・拡張すること。
• シンプレクティックおよび準ポアソン群ガロアを通じたポアソン多様体の統合に内在する幾何学的および代数的構造の解明。
• 普遍的リフト定理が、準ポアソン群ガロアのハミルトニアン空間の構成およびそれらが準ポアソン空間に対応することを容易にする仕組みの提示。

提案手法

• 微分ゲルステンハーバー代数の構造を Lie ベクトルバンドル $A$ に対して $igwedge^ullet A$ に持ち出し、普遍的リフト定理を用いて準リー双ベクトルバンドルをポアソン群ガロアに統合する。
• マナイン三重および準マナイン三重の理論を用い、双対代数 $rak{d}$ 及びその部分代数 $rak{g}$, $rak{h}$ を用いて、準ポアソン群ガロアの例を構成する。
• 正規直交基底 $rak{g}$ と随伴作用を用いて、群ガロア $G \times D/G \rightrightarrows D/G$ 上の乗法的ベクトル場 $ ilde{\Pi}$ を構成する。
• リー・ベクトルバンドルのハミルトニアン空間への作用が誘導する写像 $ ilde{Y} \in \mathfrak{X}(X)$ を用い、準ポアソン条件 $rac{1}{2}[\Pi_X, \Pi_X] = \hat{\Omega}$ における3形式 $ ilde{\Omega}$ を定義する。
• 作用と双ベクトル場の整合性は、積ポアソン構造をとる $Γ \times X \times X$ 内の作用グラフのコイサイトロピーに符号化される。
• モーメンタム写像の条件の明示的構成と検証を通じて、ハミルトニアン $Γ$-空間と $D/G$-値モーメンタム写像をもつ準ポアソン空間との対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍的リフト定理は、どのようにして準リー双ベクトルバンドルをポアソン群ガロアに統合するか？
• RQ2 準マナイン三重から生じる準ポアソン群ガロアの正確な幾何学的構造は何か？
• RQ3 準ポアソン群ガロア $Γ$ のハミルトニアン $Γ$-空間は、$D/G$-値のモーメンタム写像をもつ準ポアソン空間とどのように関係するか？
• RQ4 群ガロア上の乗法的双ベクトル場がリー双ベクトルバンドル構造を統合するための条件は何か？
• RQ5 $G$ が $D/G$ 上にドレッシング変換を用いて作用する仕組みは、準ポアソン設定におけるモーメンタム写像とどのように関係するか？

主な発見

• 普遍的リフト定理は、リー双代数のドリンフェルト理論を一般化する形で、準リー双ベクトルバンドルをポアソン群ガロアに統合する体系的な手法を提供する。
• 双不変3形式 $Ω$ をもつとき、共役作用を伴う変換群ガロア $G \times G \rightrightarrows G$ と特定の乗法的双ベクトル場 $Π$ は、準ポアソン群ガロアをなす。
• 準マナイン三重 $(\frak{d}, \frak{g}, \frak{h})$ に対して、群ガロア $G \times D/G \rightrightarrows D/G$ は自然に、乗法的双ベクトル場と閉3形式 $Ω$ をもつ準ポアソン構造をもつ。
• ハミルトニアン $Γ$-空間（$Γ = G \times D/G \rightrightarrows D/G$）と $D/G$-値モーメンタム写像をもつ準ポアソン空間との間には、自然な全単射が存在する。
• モーメンタム写像 $J: X \to D/G$ は $\Pi_X^\sharp(J^*\theta_s) = - (\lambda(\theta_s))_X$ を満たし、アレクセエフとコスマン＝シュバルツバックの準ポアソン空間の条件と一致する。
• 条件 $\frac{1}{2}[\Pi_X, \Pi_X] = \hat{\Omega}$ は、ハミルトニアン空間 $X$ が群ガロア作用およびリー・ベクトルバンドルの無限小作用と整合する準ポアソン構造をもつことを保証する。