[論文レビュー] Lectures on Springer theories and orbital integrals

Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 36被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、スプリンジャー理論と軌道積分の関係に焦点を当て、スプリンジャー層、アフィン・スプリンジャー層、ヒチン層の幾何について詳細に解説する。特に、アフィン・スプリンジャー層におけるアフィン・ワイル群の作用を確立し、p進群における軌道積分と結びつけることで、ラングランズプログラムにおける基本的補題を理解するための基盤的ツールを提供する。

ABSTRACT

These are the expanded lecture notes from the author's mini-course during the graduate summer school of the Park City Math Institute in 2015. The main topics covered are: geometry of Springer fibers, affine Springer fibers and Hitchin fibers; representations of (affine) Weyl groups arising from these objects; relation between affine Springer fibers and orbital integrals.

研究の動機と目的

• スプリンジャー層、アフィン・スプリンジャー層、ヒチン層の共通する表現論的意義を通じて、それらの幾何を結びつける幾何的枠組みを構築すること。
• 特に幾何的対称性から生じない場合の、これらの層のコホロジーへのワイル群作用の役割を明確化すること。
• p進群における軌道積分とアフィン・スプリンジャー層のコホロジーとの明確な関係を確立し、基本的補題にとって不可欠な役割を果たすこと。
• ヒチン・ファイブレーションとイワホリ・レベル構造を用いて、スプリンジャー対応をグローバルな設定へ拡張すること。
• 特にPCMIサマースクールに参加する研究者を対象として、幾何ラングランズプログラムおよび基本的補題を研究する者向けの自己完結的入門を提供すること。

提案手法

• ノンアーモニック軌道上のスプリンジャー層の幾何を調べるために、スプリンジャー解消とグロタンディーク変更を用いる。
• ループ群とパラホリック部分群を用いて、アフィン・グラスマンニアン内でのアフィン・スプリンジャー層を定義し、明確さを高めるために格子に基づく定義を導入する。
• モノドロミーとフーリエ変換の技法を用いて、アフィン・ワイル群 $\widetilde{W}$ がアフィン・スプリンジャー層のコホロジーに作用することを構成する。
• ヒチン・ファイブレーションを用いて、アフィン・スプリンジャー理論のグローバルな類似物を構成し、パラボリック・ヒチン層のコホロジーへの $\widetilde{W}$-作用を構築する。
• パラボリック・ヒチン層のコホロジーとアフィン・スプリンジャー層の積との間の積分公式を確立し、局所的およびグローバルな幾何的構造を結びつける。
• 階数付き二重アフィンヘッケ代数（DAHA）の理論を用いて、$\widetilde{W}$-作用を拡張し、コホロジーの安定性の性質を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スプリンジャー層の幾何的性質（連結性、等次元性、純粋性など）は、表現論とどのように関係するか？
• RQ2 p進群における軌道積分とアフィン・スプリンジャー層のコホロジーとの正確な関係は何か？
• RQ3 アフィン・スプリンジャー層のコホロジーへの $\widetilde{W}$-作用はどのように生じるのか？ なぜ幾何的作用としての起源を持たないのか？
• RQ4 ヒチン・ファイブレーションは、アフィン・スプリンジャー理論のグローバルな類似物としてどのように機能するのか？ そして $\widetilde{W}$-作用はどのように移行されるのか？
• RQ5 パラボリック・ヒチン層とアフィン・スプリンジャー層との間の積分公式は、アフィン・スプリンジャー作用の性質をどのように導出できるか？

主な発見

• アフィン・スプリンジャー層のコホロジーには、自然にアフィン・ワイル群 $\widetilde{W}$ の作用が存在するが、これは層自体の幾何的作用によっては生じない。
• $G = \mathrm{GL}_n$ の場合、アフィン・スプリンジャー層のコホロジーは局所体における分数イデアルの集合上の関数空間に同型であり、幾何と軌道積分を結びつける。
• アフィン・スプリンジャー層の次元公式は、$\dim \mathcal{Y}_\gamma = \frac{1}{2} \left( \dim G - \dim G_\gamma + \mathrm{rk}(G_\gamma) \right)$ で与えられ、ここで $G_\gamma$ は $\gamma$ の中心化群である。
• $G = \mathrm{SL}_2$ の場合、サブレギュラーなアフィン・スプリンジャー層は次元1の唯一の既約成分から成り、そのコホロジーはワイル群の標準表現を支える。
• パラボリック・ヒチン層 $\mathcal{M}^{\textup{par}}_{a,x}$ は、そのコホロジーに $\widetilde{W}$-作用を備え、$\mathcal{Y}_{a_x}$ におけるアフィン・スプリンジャー作用と整合的である。これは定理54で示されている。
• $\deg \mathcal{L} > 2g - 1$ のとき、$\mathbf{R}f^{\textup{par}}_!\mathbb{Q}_\ell$ における $\widetilde{W}$-作用は、階数付き二重アフィンヘッケ代数へ拡張可能である。これは定理54および [GS, Th 6.1.6] に従う。