[論文レビュー] Lectures on Two-Dimensional Noncommutative Gauge Theory 1. Classical Aspects

L. D. Paniak, Richard J. Szabo|ArXiv.org|Feb 25, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非可換トーラス上の2次元非可換ヤン・ミルズ理論について、非可換幾何学の枠組みを用いて包括的な古典的解析を提供し、正確な解析的解を確立する。非可換ゲージ理論の異なる非可換パラメータと結合定数を持つ解の間の双対性がモラータ同値性によって生じ、θの離散的SL(2,Z)変換のもとで古典的作用と場の運動方程式が保存されることを示している。

ABSTRACT

These notes comprise the first of two articles devoted to the construction of exact solutions of noncommutative gauge theory in two spacetime dimensions. This first part deals solely with the classical theory on a noncommutative torus. Topics covered include a mathematical introduction to the geometry of the noncommutative torus, the definition, properties and symmetries of noncommutative Yang-Mills theory, and the complete solution of the classical field equations.

研究の動機と目的

• ゲージ理論に関連する非可換幾何学の数学的基盤についての教育的入門を提供すること。
• 非可換トーラス上での2次元非可換ヤン・ミルズ理論の正確な古典的解を構成すること。
• 異なる非可換パラメータと結合定数を持つ非可換ゲージ理論の解を関連付けるモラータ同値性の役割を分析すること。
• 非可換パラメータθの離散的SL(2,Z)変換のもとで、古典的ヤン・ミルズ作用が不変であることを確立すること。
• モラータ同値性を介して、通常の可換ヤン・ミルズ理論が非可換ゲージ理論のクラスに埋め込まれることを示すこと。

提案手法

• 非可換トーラス上の微分構造、接続、曲率を定義するために、非可換幾何学の数学的枠組みを用いる。
• ヒーゼンベルクモジュールを非可換トーラス代数上の射影モジュールとして用い、ベクトル束を記述する。
• 非可換ヤン・ミルズ理論の場の運動方程式を導出し、定曲率接続に対して明示的に解く。
• モラータ同値性を用いて、異なる非可換トーラス上のゲージ理論を関連付け、双対理論間の解をマッピングする。
• SL(2,Z)によるθおよびゲージ結合定数の変換則を用いて、古典的作用の不変性を示す。
• ムーレー＝ヴァン・ネウマン次元と標準トレースがモラータ同値性のもとで一貫して変換され、物理的量が保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元非可換トーラス上の非可換ヤン・ミルズ理論において、正確な古典的解はどのように構成できるか？
• RQ2 異なる非可換パラメータを持つ非可換ゲージ理論の解を関連付けるモラータ同値性の役割は何か？
• RQ3 非可換パラメータθおよびヤン・ミルズ結合定数はSL(2,Z)双対性のもとでどのように変換され、その変換の物理的意味は何か？
• RQ4 通常の可換ヤン・ミルズ理論は、モラータ同値性を介して非可換ゲージ理論のクラスに埋め込むことができるか？
• RQ5 モラータ同値性によって誘導される双対変換のもとで、古典的作用はどのように不変のままであるか？

主な発見

• 非可換トーラス上の古典的ヤン・ミルズ作用は、非可換パラメータθの離散的SL(2,Z)変換に対して不変である。
• モラータ同値性は、ある非可換ゲージ理論における定曲率接続を、双対理論における定曲率接続にマッピングし、それらの解空間の間の1対1対応を確立する。
• 非可換パラメータはSL(2,Z)のもとでθ′ = (mθ + n)/(rθ + s)と変換され、ゲージ結合定数はg′² = |rθ + s|³ g²と再スケーリングされる。
• 場の強度はF′_A′ = (rθ + s)² F_A + 2πr(rθ + s)と変換され、背景フラックスφが非同次項を補償する。
• モジュールのムーレー＝ヴァン・ネウマン次元はdim E′ = dim E / |rθ + s|と変換され、標準トレースはTr′ = |rθ + s| Trと再スケーリングされる。
• 『t Hooftフラックスを有する通常のU(p)ヤン・ミルズ理論は、有理数θ′ = n/sおよび結合定数g′² = s³ g²を有する非可換U(1)ゲージ理論とモラータ同値であり、非アーベル的および非可換的自由度の間の双対性を示している。