[論文レビュー] Lectures on Wakimoto modules, opers and the center at the critical level

Edward Frenkel|ArXiv.org|Oct 2, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 51

ひとこと要約

この論文は、コhomologicalな手法と頂点代数の技術を用いて、臨界レベルにおけるアフィンKac-Moody代数のWakimotoモジュールを構成し、臨界レベルにおける普遍包あくり代数の中心と、Langlands双対Lie代数に付随する古典的W代数との間に自然な同型を確立する。主な結果は、この中心が形式的円板上の$^L G$-opersの空間上の関数代数に同型であり、頂点Poisson構造を保つことである。

ABSTRACT

Wakimoto modules are representations of affine Kac-Moody algebras in Fock modules over infinite-dimensional Heisenberg algebras. In these lectures we present the construction of the Wakimoto modules from the point of view of the vertex algebra theory. We then use Wakimoto modules to identify the center of the completed universal enveloping algebra of an affine Kac-Moody algebra at the critical level with the algebra of functions on the space of opers for the Langlands dual group on the punctured disc. These results were originally obtained by B. Feigin and the author.

研究の動機と目的

• アフィンKac-Moody代数のWakimotoモジュールを頂点代数論的技法を用いて体系的に構成すること。
• 臨界レベルにおける$V_{\tilde{\rho}}(\frak{g})$の中心と、Langlands双対群に付随する古典的$\mathcal{W}$-代数との同型を確立すること。
• Wakimoto実現を半無限な放物型誘導の枠組みに拡張すること。
• Wakimotoモジュールを用いて、臨界レベルにおける既約モジュールの特徴関数に関するKac-Kazhdan予想を証明すること。
• 臨界レベルにおける中心が、形式的円板上の$^L G$-opersの関数代数に同型であり、頂点Poisson構造を保つこと。

提案手法

• コhomologicalな手法を用いて、頂点代数$V_\kappa(\frak{g})$からFockモジュール$M_{\frak{g}} \otimes \pi^{\kappa - \kappa_c}_0$への準同型を構成する。
• コhomologyにおける障害類を、アフィンKac-Moody代数を定義するクラスと特定する。
• 第二種のスクリーニング作用素を用いて、$V_{\kappa_c}(\frak{g})$の中心を分析する。
• 臨界レベルで最高ウェイト0のVermaモジュールとあるWakimotoモジュールとの同型を活用し、特異ベクトルの関数の次数付き部分を計算する。
• ρでシフトされたHarish-Chandra同型を用いて中心を$\operatorname{Fun}({}^L\frak{h})^W_\rho$と関連付け、留数写像を用いて次数付き成分を同定する。
• 中心と$\operatorname{Fun} \operatorname{Op}_{{}^L G}(\mathbb{D}^\times)_{\leq 1}^0$との同型が頂点Poisson構造を保つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のアフィンLie代数に対して、頂点代数論を用いてWakimotoモジュールを体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 臨界レベルにおける普遍包あくり代数$V_{\kappa_c}(\frak{g})$の中心の構造は何か？
• RQ3 臨界レベルにおける$V_{\kappa_c}(\frak{g})$の中心は、Langlands双対Lie代数に付随する古典的$\mathcal{W}$-代数に同型か？
• RQ4 第二種のスクリーニング作用素は、臨界レベルにおける中心の計算をどのように支援するか？
• RQ5 形式的円板上の$^L G$-opersの関数代数は、中心と頂点Poisson代数として同型か？

主な発見

• 臨界レベルにおける$V_{\kappa_c}(\frak{g})$の中心は、自然にLanglands双対Lie代数${}^L\frak{g}$に付随する古典的$\mathcal{W}$-代数に同型である。
• 中心と$\operatorname{Fun} \operatorname{Op}_{{}^L G}(\mathbb{D}^\times)_{\leq 1}^0$との同型は、留数写像とρでシフトされたHarish-Chandra同型を介して確立される。
• 中心は$\operatorname{Fun}({}^L\frak{h})^W_\rho$に同型であり、可換図式の下部水平矢印は$f \mapsto f^-$で与えられ、ここで$f^-(\lambda + \rho) = f(-\lambda - \rho)$である。
• 中心と$\operatorname{Fun} \operatorname{Op}_{{}^L G}(\mathbb{D}^\times)_{\leq 1}^0$との同型は、頂点Poisson構造を保つ。
• 半無限な放物型誘導によるWakimotoモジュールの構成は、再帰的群に対する標準的誘導を一般化する。
• Wakimoto実現と特異ベクトルの次数付き部分を用いて、臨界レベルにおける既約モジュールの特徴関数に関するKac-Kazhdan予想が証明された。