[論文レビュー] Lee-Yang measures and wave functions

Dimitar K. Dimitrov|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正規直交多項式のロンスキアンを用いて、Borel測度がリー＝ヤン測度であるための必要十分条件を確立する。すなわち、そのフーリエ変換が実数零点のみをもつことである。主な貢献は、正規直交多項式のスペクトル的性質とフーリエ変換の零点の配置を結びつける特徴付けを提供することであり、量子力学、統計物理学、およびリーマン予想への応用を有する。

ABSTRACT

We establish necessary and sufficient conditions for a Borel measure to be a Lee-Yang one which means that its Fourier transform possesses only real zeros. Equivalently, we answer a question of Pólya who asked for a characterisation of those positive positive, even and sufficiently fast decaying kernels whose Fourier transforms have only real zeros. The characterisation is given in terms of Wronskians of polynomials that are orthogonal with respect to the measure. The results show that Fourier transforms of a rather general class of measures can be approximated by symmetrized Slater determinants composed by orthogonal polynomials, that is, by some wave functions which are symmetric like the Boson ones. Brief comments on possible interpretation and applications of the main results in quantum and statistical mechanics, to Toda lattices and the general solution of the heat equation, are given. We discuss briefly the possibility of represent the Riemann $ξ$ function as a partition function of a statistical mechanics system.

研究の動機と目的

• フーリエ変換が実数零点のみをもつ、いわゆるリー＝ヤン測度であるBorel測度の完全な特徴付けを提供すること。
• ポリャーが提起した長年の未解決問題を解決すること：正値で偶関数的かつ急速に減衰するカーネルが、フーリエ変換に実数零点のみをもつための必要十分条件は何か。
• 正規直交多項式のスペクトル理論と統計力学における分配関数の零点分布との関連を確立すること。
• リーマン ξ 関数が統計力学的系の分配関数として解釈可能かどうかを検討すること。
• フーリエ変換が、正規直交多項式から構成される対称化されたスレーター行列式によって近似可能であり、ボソン的波動関数に類似していることを示すこと。

提案手法

• リー＝ヤン測度を特徴付ける中心的分析的道具として、正規直交多項式のロンスキアンを用いる。
• ラプラス変換およびフーリエ変換の形式的枠組みを用い、変換の零点の配置と測度論的性質との関係を導出する。
• 量子力学的スレーター行列式にインspiredされた、正規直交多項式のロンスキアン行列式によるフーリエ変換の近似を構築する。
• Toda格子の枠組みを活用し、時間発展する正規直交多項式と熱方程式およびモーメント母関数との関係を導出する。
• Laxペア形式およびヤコビ行列のスペクトル理論を用いて、時間に依存する設定下での正規直交多項式の再帰的関係を導出する。
• リーマン ξ 関数を、theta 関数および量子場理論モデルと関連付けることで、量子統計モデルにおける潜在的分配関数として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Borel測度がリー＝ヤング測度である、すなわちそのフーリエ変換が実数零点のみをもつための必要十分条件は何か？
• RQ2 正規直交多項式のロンスキアンを用いて、測度のフーリエ変換をどのように近似できるか？
• RQ3 リーマン ξ 関数を統計力学的系の分配関数として解釈できるか。そのような解釈が可能となる条件は何か？
• RQ4 正規直交多項式のスペクトル的性質と、量子系・統計力学的モデルにおけるフーリエ変換の零点分布との間の関係は何か？
• RQ5 正規直交多項式から構成される対称化されたスレーター行列式は、ボソン的波動関数および熱方程式の一般解とどのように関係するか？

主な発見

• Borel測度がリー＝ヤング測度であるための必要十分条件は、その正規直交多項式の特定のロンスキアンが、ある特定の正則性条件を満たすことである。
• 関心の対象となる測度の任意のフーリエ変換は、正規直交多項式から構成される対称化されたスレーター行列式によって近似可能であり、これはボソン的波動関数に類似している。
• 熱方程式の一般解は、正規直交多項式のロンスキアンを用いて近似可能であり、これによりモーメント母関数の構成的表現が得られる。
• Toda格子の時間発展は、時間に依存する測度を介して正規直交多項式と関連づけられ、モーメント母関数はロンスキアン近似から回復可能である。
• リーマン ξ 関数は、ヤコビのtheta関数および量子力学的解と関連づけられることで、量子統計モデルにおける候補分配関数として解釈可能である。
• イジング模型におけるリー＝ヤング定理は、右半平面上で積分可能かつラプラス変換が消えない条件を満たす、広範な偶関数的かつ急速に減衰する測度のクラスへと拡張可能である。