[論文レビュー] Lefschetz contact manifolds and odd dimensional symplectic geometry

Yi Lin|Nov 6, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、奇数次元のシンプレクティック幾何学を用いて、コンパクトな $K$-接触多様体に対する統一的なハード・レフシェッツ定理を確立し、Sasakian多様体の2つの既存のハード・レフシェッツ定理—基本的コホモロジーとデ・ラームコホモロジーに基づくもの—が数学的に同値であることを証明する。このアプローチにより、すべての次元 $\geq 9$ においてSasakian構造を持たない単連結な $K$-接触多様体を簡単に構成でき、ボーイヤーとガリッキが提起した未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In the literature, there are two different versions of Hard Lefschetz theorems for a compact Sasakian manifold. The first version, due to Kacimi-Alaoui, asserts that the basic cohomology of a compact Sasakian manifold satisfies the transverse Lefschetz property. The second version, established far more recently by Cappelletti-Montano, De Nicola, and Yudin, holds for the De Rham cohomology of a compact Sasakian manifold. In the current paper, using the formalism of odd dimensional symplectic geometry, we prove a Hard Lefschetz theorem for a compact $K$-contact manifold, which implies immediately that the two existing versions of Hard Lefschetz theorems are mathematically equivalent to each other. Our method sheds new light on the Hard Lefschetz property of a Sasakian manifold. It enables us to give a simple construction of simply-connected $K$-contact manifolds without any Sasakian structures in any dimension $\geq 9$, and answers an open question asked by Boyer and late Galicki concerning the existence of such examples. It also allows us to establish a sufficient and necessary condition for a finitely presentable group to be the fundamental group of a compact Lefschetz contact five manifold. As an immediate application, we use it to produce first examples of compact Lefschetz contact manifolds which do not support any Sasakian structures. This provides an answer to another open question asked by Cappelletti-Montano, De Nicola, and Yudin in their recent work.

研究の動機と目的

• コンパクトなSasakian多様体に対する2つの異なるハード・レフシェッツ定理の概念的関係を解明すること：1つは基本的コホモロジーに基づき、もう1つはデ・ラームコホモロジーに基づくものである。
• 奇数次元のシンプレクティック幾何学を用いて、$K$-接触多様体におけるハード・レフシェッツ性質の統一的枠組みを確立すること。
• ボーイヤーとガリッキが提起した、Sasakian構造をいかに持たない単連結な $K$-接触多様体が存在するかという未解決問題に答えること。
• 従来の証明で用いられるリーマン幾何的ホッジ理論に代わる、新しいシンプレクティックホッジ理論的アプローチを提供し、より深い幾何的洞察をもたらすこと。

提案手法

• ヘ（2010）が開発した奇数次元のシンプレクティックホッジ理論を用いて、$K$-接触多様体のコホモロジー構造を分析する。
• BG08で確立された、$K$-接触多様体の基本的コホモロジーとデ・ラームコホモロジーを結ぶ長完全系列を適用する。
• Lefschetz写像 $Lef_k: \Omega^k(M) \to \Omega^{2n+1-k}(M)$ を $\alpha \mapsto \eta \wedge (d\eta)^{n-k} \wedge \alpha$ で定義し、それが調和性を保存することを示す。
• ボーストビー＝ワングの構成を用いて、整数値シンプレクティック多様体を単連結な $K$-接触多様体上の正則接触構造に上げる。
• ポincare双対性とクンネットの公式を用いて、積シンプレクティック多様体のベッチ数を計算する。
• 単連結なボーストビー＝ワングファイブレーションに関する補題5.6を適用し、底空間が単連結で、オイラー類が不可約である場合に全空間が単連結であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなSasakian多様体に対する2つの既存のハード・レフシェッツ定理—基本的コホモロジーとデ・ラームコホモロジーに基づくもの—は数学的に同値であるか？
• RQ2 $K$-接触多様体におけるハード・レフシェッツ性質は、奇数次元のシンプレクティック幾何学を用いて一様に特徴付けられるか？
• RQ3 次元 $\geq 9$ において、いかなるSasakian構造も持たない単連結な $K$-接触多様体が存在するか？
• RQ4 ハード・レフシェッツ定理の証明において、リーマン幾何的ホッジ理論に代わるシンプレクティックホッジ理論的アプローチを用いることができるか？

主な発見

• コンパクトなSasakian多様体に対する2つのハード・レフシェッツ定理は、両方とも$K$-接触多様体の横断的ハード・レフシェッツ性質に同値であるため、数学的に同値である。
• コンパクトな$K$-接触多様体がCappelletti-Montano、De Nicola、Yudinの意味でハード・レフシェッツ性質を満たすための必要十分条件は、それが横断的ハード・レフシェッツ性質を満たすことである。
• 任意の $n \geq 4$ に対して、次元 $2n+1$ の単連結なコンパクトな $K$-接触多様体が存在し、その $b_3(P) = 3$ であり、いかなるSasakian構造も持たない。
• このような例は、$b_3(M) = 3$ で、オイラー類が不可約な、単連結で2-レフシェッツ的で整数値のシンプレクティック多様体を底面とするボーストビー＝ワングファイブレーションによって構成される。
• 底面多様体のシンプレクティック形式は整数値で2-レフシェッツ的であり、結果として得られる全空間はオイラー類の不可約性により単連結である。
• この構成により、すべての次元 $\geq 9$ において例が得られ、ボーイヤーとガリッキの未解決問題に答えている。