[論文レビュー] Lefschetz elements of Artinian Gorenstein algebras and Hessians of homogeneous polynomials

Toshiaki Maeno, Junzo Watanabe|ArXiv.org|Mar 20, 2009

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特徴標数 0 の体上の Artinian Gorenstein 代数における強い Lefschetz 要素を特定する基準を、定義する斉次多項式の高次ヘッシアンを用いて確立する。強い Lefschetz 要素の集合は、高次ヘッシアンの零点集合の補集合であることが示され、第一ヘッシアンは非零だが第二ヘッシアンが零となる多項式を提示することで、強い Lefschetz 性質を有さない Artinian Gorenstein 代数の新しい例が構成される。

ABSTRACT

We give a characterization of the Lefschetz elements in Artinian Gorenstein rings over a field of characteristic zero in terms of the higher Hessians. As an application, we give new examples of Artinian Gorenstein rings which do not have the strong Lefschetz property.

研究の動機と目的

• 特徴標数 0 の体上の Artinian Gorenstein 代数における強い Lefschetz 要素を特徴付けること。
• 従来の行列式に基づくアルゴリズムでは、与えられた Artinian Gorenstein 代数が強い Lefschetz 性質を有するかどうかを特定することが難しいという問題に取り組むこと。
• 高次ヘッシアンの消失を分析することにより、強い Lefschetz 性質を欠く Artinian Gorenstein 代数の新しい例を構成すること。
• unimodal かつ対称的な Hilbert 関数を有するコインvariant 代数および対称代数の文脈における Lefschetz 性質の理解を拡張すること。

提案手法

• 微分作用素環 $ Q $ における斉次多項式 $ F $ の annihilator を用いて Artinian Gorenstein 代数を $ A \cong Q / \operatorname{Ann}_Q F $ として表現する。
• 高次ヘッシアン $ \operatorname{Hess}^{(d)}F $ を $ 1 \leq d \leq \lfloor \deg F / 2 \rfloor $ に対して導入し、Lefschetz 性質を検出する不変量として用いる。
• 強い Lefschetz 要素の集合が、$ A_1 $ 内のこれらの高次ヘッシアンの零点集合の補集合であることから、Zariski 開集合であることがわかる。
• $ \operatorname{Hess} F \neq 0 $ だが $ \operatorname{Hess}^{(2)}F = 0 $ となる多項式 $ F $ を選ぶことで、明示的な例を構成する。これにより、強い Lefschetz 性質の不成立が示される。
• 第二階微分作用素を $ F $ に作用させた結果得られるベクトルの線形従属性を確認し、$ \operatorname{Hess}^{(2)}F = 0 $ を裏付ける。
• 明示的な単項式基底を用い、微分作用素の作用を計算することで、乗法写像のランクを決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体の特徴標数 0 の Artinian Gorenstein 代数において、$ L \in A_1 $ が強い Lefschetz 要素であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 定義多項式 $ F $ の高次ヘッシアンを用いて、強い Lefschetz 性質を代数的に特徴付けることができるか？
• RQ3 第一ヘッシアンは非零だが第二ヘッシアンが消失する Artinian Gorenstein 代数は存在するか？ また、それらは強い Lefschetz 性質を欠くのか？
• RQ4 このような代数における Lefschetz 要素の集合の構造は何か？ また、高次ヘッシアンの零点集合とはどのように関係するか？
• RQ5 ゼロヘッシアン条件に基づくもの以外の、強い Lefschetz 性質を欠く Artinian Gorenstein 代数の新しい例を構成できるか？

主な発見

• 特徴標数 0 の体上の Artinian Gorenstein 代数における強い Lefschetz 要素の集合は、高次ヘッシアン $ \operatorname{Hess}^{(d)}F $ の零点集合の補集合であり、$ A_1 $ の Zarsiki 開部分集合である。
• Fermat 型多項式 $ F = \sum_{i=1}^n x_i^n - n(n-1)s \prod_{i=1}^n x_i $ に対して、第二ヘッシアン $ \operatorname{Hess}^{(2)}F $ は恒等的に零であり、これにより対応する代数 $ A = Q / \operatorname{Ann}_Q F $ は強い Lefschetz 性質を有さない。
• 例 5.1（$ n=3 $）では、代数 $ A $ の Hilbert 関数は $ (1,6,13,13,6,1) $ であり、任意の $ L \in A_1 $ に対して写像 $ \times L: A_2 \to A_3 $ が単射でないため、弱い Lefschetz 性質を欠く。
• 例 5.2 では、$ k[u,v,x,y,z] $ 内の5次多項式 $ F $ で、$ \operatorname{Hess} F \neq 0 $ だが $ \operatorname{Hess}^{(2)}F = 0 $ となるものが与えられ、Hilbert 関数 $ (1,5,12,12,5,1) $ を持つ代数が得られ、弱い Lefschetz 性質を欠く。
• 例 5.3（Ikeda による）では、多項式 $ F = w^3xy + wx^3z + y^3z^2 $ で、$ \operatorname{Hess} F \neq 0 $ かつ $ \operatorname{Hess}^{(2)}F = 0 $ であり、Hilbert 関数 $ (1,4,10,10,4,1) $ を持つ代数が得られ、弱い Lefschetz 性質を欠く。
• 本稿は、$ \operatorname{Hess}^{(2)}F = 0 $ のとき、第一ヘッシアンが非零であっても、対応する Artinian Gorenstein 代数 $ A $ は強い Lefschetz 性質を有さないことを確認している。