[論文レビュー] Lefschetz numbers for C*-algebras

Heath Emerson|ArXiv.org|Aug 31, 2007

Advanced Operator Algebra Research被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Poincaré双対性とK"unneth定理を満たす分離的・核となるC*-代数の自己準同型に対して、KasparovのKK理論を用いてLefschetz数を位相的インデックスペアリングとして表現することで、Lefschetz型の公式を定式化する。Cuntz-Krieger代数 $O_A$ に対しては、関連するグラフにおけるパス上の置換の力学に基づいた閉じた多項式公式を導出し、その結果が関連する作用素のFredholmインデックスと一致することを示す。

ABSTRACT

Using Poincare duality, we formulate a formula of Lefschetz type which computes the Lefschetz number of an endomorphism of a separable, nuclear C*-algebra satisfying Poincare duality and the Kunneth theorem. (The Lefschetz number of an endomorphism is the graded trace of the induced map on K-theory tensored with the complex numbers, as in the classical case.) We then consider endomorphisms of Cuntz-Krieger algebras O_A. An endomorphism has an invariant, which is a permutation of an infinite set, and the contracting and expanding behavior of this permutation describes the Lefschetz number of the endomorphism. Using this description we derive a closed polynomial formula for the Lefschetz number depending on the matrix A and the presentation of the endomorphism.

研究の動機と目的

• Poincaré双対性とK"unneth定理を用いて、古典的Lefschetz固定点定理をC*-代数の設定に一般化すること。
• 核となるC*-代数上の自己準同型のLefschetz数を、KK理論における位相的インデックスペアリングとして表現すること。
• 基礎となるグラフの幾何学的・組合せ論的データを用いて、Cuntz-Krieger代数 $O_A$ の自己準同型のLefschetz数を明示的に計算すること。
• 行列 $A$ および自己準同型がパスに作用する様子を用いて、Lefschetz数の閉形式多項式公式を確立すること。

提案手法

• KK理論におけるPoincaré双対性を用いて、$\mathrm{K}$-理論と$\mathrm{K}$-ホモロジーの間の同型を誘導する基本的クラス $\Delta \in \mathrm{KK}^1(O_A \otimes O_{A^T}, \mathbb{C})$ を定義する。
• C*-代数 $O_A$ の自己準同型 $\alpha_\Psi$ を、片側シフト $\Sigma_A^+$ 上の部分ホメオモルフィズムの$n$-重組み合わせによって誘導されるパス空間 $\mathbf{P}$ 上の写像として表現する。
• 生成子上の $\alpha_\Psi$ の作用を符号化する有限パス集合 $\mathbf{P}$ 上の部分置換 $\dot{\Psi}$ を定義する。
• $\dot{\Psi}$ に関連するFredholm作用素 $W_\Psi$ を $\ell^2(\mathbf{P})$ 上に構成し、その解析的インデックスがLefschetz数を計算することを示す。
• $\dot{\Psi}$ によるパスの長さが短縮されるものと拡大されるものの個数の差として $W_\Psi$ のインデックスを計算し、多項式表現に至る。
• Kasparov積を用いて $\mathrm{Index}(\dot{\Psi}) = \mathbf{Ind}(\Delta, [\alpha_\Psi])$ の等式を確立し、Lefschetz公式の証明を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的Lefschetz固定点定理は、双対性とK理論を用いて非可換C*-代数にどのように一般化できるか？
• RQ2 Poincaré双対性を満たす核となるC*-代数上の自己準同型のLefschetz数を計算する正確な位相的不変量は何か？
• RQ3 Cuntz-Krieger代数 $O_A$ の自己準同型のLefschetz数は、行列 $A$ の組合せ論的性質および自己準同型がパスに作用する様子にどのように依存するか？
• RQ4 部分置換がパス上に作用する $O_A$-自己準同型のケースにおいて、Lefschetz数はFredholmインデックスとして計算可能か？

主な発見

• Poincaré双対性を満たすC*-代数上の自己準同型 $\alpha_\Psi$ のLefschetz数は、双対クラス $\Delta$ を用いたインデックスペアリング $\mathbf{Ind}(\Delta, [\alpha_\Psi])$ で与えられる。
• Cuntz-Krieger代数 $O_A$ に対しては、Lefschetz数はパス空間 $\mathbf{P}$ 上の部分置換 $\dot{\Psi}$ によって誘導される作用素 $W_\Psi$ のFredholmインデックスに一致する。
• $W_\Psi$ のインデックスは、$\dot{\Psi}$ によって長さが短縮されるパスの個数と長さが増加するパスの個数の差として計算され、多項式式が得られる。
• 公式は明示的に次のように与えられる： $$ \mathrm{Trace}_s((\alpha_\Psi)_*) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^N \sum_{\substack{\mu \in W_i \\ |\psi_i(\mu)| \leq |\mu| - j + 1}} A^{m+j-k}_{t(\mu),i} - \sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^{N-1} \sum_{\substack{\mu \in W_i \\ |\psi_i(\mu)| \geq |\mu| + j + 2}} A^{m-j-k}_{t(\mu),i}, $$ これは十分に大きな $m$ および $N$ に対してLefschetz数と一致する。
• 特定の例 $k=2$, $m=3$, $N=1$ において検証され、$\mathrm{Index}(\dot{\Psi}) = 8 - 7 = 1$ が得られ、公式の妥当性が確認された。