[論文レビュー] Lefschetz thimble Monte Carlo for many body theories: application to the repulsive Hubbard model away from half filling

A.K. Mukherjee, M. Cristoforetti|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2014

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、フェルミ粒子系多体理論における符号問題を解決するため、レフシェッツチムブル・モンテカルロ法を導入し、平均場解まわりの非摂動的量子補正を計算可能にする。反発的 Hubbard モデルを半フィルインの外で適用したところ、最新のクラスターダイナミカルメトロドフィールド理論（DMFT）と非常に良好な一致を示し、中程度の温度領域における強相関系への応用可能性を示している。

ABSTRACT

Recently, a new method, based on stochastic integration on the surfaces of steepest descent of the action, was introduced to tackle the sign problem in quantum field theories. We show how this method can be used in many body theories to perform fully non-perturbative calculations of quantum corrections about mean field solutions. We discuss an explicit algorithm for implementing our method, and present results for the repulsive Hubbard model away from half-filling at intermediate temperatures. Our results are consistent with those from the recent state of the art cluster dynamical mean field theory calculations.

研究の動機と目的

• フェルミ粒子系多体理論における符号問題に取り組むこと、特に標準的なモンテカルロ法が負の重みのために失敗するような Hubbard モデルのような系を対象とする。
• 従来の量子場理論に用いられていたレフシェッツチムブル手法を、一意な連続極限を持たない多体系へと拡張すること。
• 平均場解まわりの量子補正を体系的に含む非摂動的フレームワークを提供すること。
• 中程度の温度領域および半フィルインから離れた状態における反発的 Hubbard モデルに対するベンチマーク計算を通じて、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 関数的積分を、作用の鞍点からの勾配降下の流れに沿ったレフシェッツチムブル、すなわち勾配降下の流れに沿った多様体に変形することで再定式化する。
• この変形により、ボルツマン重みの位相が安定する領域に積分が集中し、符号問題が抑制される。
• 2体相互作用を分離するために Hubbard-Stratonovich 変換を用い、補助場に依存する行列の行列式に問題を還元する。
• 複素化されたレフシェッツチムブル上でのモンテカルロサンプリングを実施し、作用を勾配降下多様体上に再定義することで、実数かつ正の重みを保証する。
• 勾配フローと正則関数の拡張を用いて、元の経路積分の物理的内容を保持したままチムブルをサンプリングするための詳細な数値アルゴリズムを開発する。
• 2次元反発的 Hubbard モデルに対して、有限格子上にこの手法を適用し、二重占有数や運動エネルギーなどの物理量を確率的積分により計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一意な連続極限を持たない多体フェルミオン系へ、レフシェッツチムブル手法を一般化できるか？
• RQ2 レフシェッツチムブル上での積分が、平均場理論を超えた量子補正について物理的に整合性のある結果をもたらすか？
• RQ3 反発的 Hubbard モデルの半フィルインから離れた状態において、レフシェッツチムブル・モンテカルロ法が、既存の結果をどれほど正確に再現できるか？
• RQ4 符号問題が顕著であるが物理的洞察が得られる中程度の温度領域へ、この手法を適用可能か？

主な発見

• レフシェッツチムブル法は、反発的 Hubbard モデルにおける符号問題を効果的に軽減し、中程度の温度領域での非摂動的計算を可能にした。
• 半フィルインにおける二重占有数の結果は、最新の確定的量子モンテカルロ法（DQMC）の結果と完全に一致した。
• 半フィルインから離れた領域では、二重占有数および有効 hopping パラメータの結果が、クラスターダイナミカルメトロドフィールド理論（DCA-DMFT）の計算と非常に良好に一致した。
• T/t < 1 以下の領域で、二重占有数にわずかな増加が観測され、以前の研究で予測された相互作用による冷却効果と整合的であった。
• 有効 hopping パラメータ t_eff/t は温度が低下するにつれて減少し、相関の増大に伴う運動エネルギーの低下を反映している。
• 8²、10²、12² 格子の結果は、1%未満の差異でほとんどサイズ依存性を示さず、局所的物理量が熱力学的極限に急速に収束することを確認した。