[論文レビュー] Left invariant complex structures on U(2) and SU(2)xSU(2) revisited

Louis Magnin|ArXiv.org|Sep 6, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、torsion-free線形写像を用いた計算的手法に基づき、𝔘(2)および𝔘(2)×𝔘(2)上の左不変かつ可積分な複素構造を再検討する。可積分な複素構造の新しい同定と、リー代数の自己同型群による同値類の特定を示し、それら構造の集合が滑らかな多様体をなすことを証明し、SU(2)×SU(2)上の複素構造に対して明示的な局所正則座標を構成する。

ABSTRACT

We compute the torsion-free linear maps from the Lie algebra su(2) into itself, deduce a new determination of the integrable complex structures and their equivalence classes under the action of the automorphism group for u(2) and su(2)xsu(2), and prove that in both cases the set of complex structures is a differentiable manifold. u(2)x u(2), su(2)^N and u(2)^N are also considered. Extensions of complex structures from u(2) to su(2)xsu(2) are studied, local holomorphic charts given, and attention is paid to what representations of u(2) we can get from a substitute to the regular representation on a space of holomorphic functions for the complex structure.

研究の動機と目的

• torsion-free線形写像に基づく新しい計算的手法を用いて、𝔲(2)および𝔰𝔲(2)⊕𝔰𝔲(2)上の可積分な左不変複素構造の分類を再導出すること。
• リー代数の自己同型群の作用によるこれらの複素構造の同値類を特定すること。
• 𝔲(2)および𝔰𝔲(2)⊕𝔰𝔲(2)上の可積分な複素構造の集合が滑らかな多様体をなすことの証明。
• 𝔲(2)上の複素構造を𝔰𝔲(2)⊕𝔰𝔲(2)へ拡張し、それらに対応する複素多様体の明示的局所正則座標を構成すること。
• 各複素構造に対して正則関数空間上に実現される𝔲(2)の表現を分析し、標準的正則表現と比較すること。

提案手法

• 𝔰𝔲(2) → 𝔰𝔲(2) なる torsion-free線形写像 J を計算し、これが最大ランクのタイプCR0のCR構造であることが示される。
• Newlander-Nirenbergの可積分性条件を構造方程式の射影により解くために、Reduce計算代数システムを用いたコンピュータ支援代数的手法を適用する。
• 複素構造と複素部分代数 𝔪 ⊂ 𝔤ℂ の間の代数的対応を用いる。ここで 𝔤ℂ = 𝔪 ⊕ 𝔪̄ であり、𝔪 = 𝔤(1,0) である。
• 偏微分方程式系 ∂f/∂ψ₁ + iη ∂f/∂ψ₂ = 0 および他の変数について同様の式を解くことで、SU(2)×SU(2) の開部分集合 W ⊂ における局所正則座標 (z¹, z², z³) を構成する。
• 左不変ベクトル場と複素化された接空間を用いて、反正則ベクトル場に消える正則関数の明示的表現を導出する。
• U(2)のユニタリ双対を分析し、正則関数空間上に誘導される表現を標準的正則表現と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型群による同値関係の下で、𝔲(2)上の可積分な左不変複素構造の完全な分類は何か？
• RQ2 𝔲(2)上の複素構造はどのように 𝔰𝔲(2)⊕𝔰𝔲(2) へ拡張され、それらに対応する複素多様体構造はどのようなものか？
• RQ3 𝔲(2)および𝔰𝔲(2)⊕𝔰𝔲(2)上のすべての可積分な複素構造の集合が滑らかな多様体をなすことを示せるか？
• RQ4 SU(2)×SU(2)上の複素構造の局所正則座標は何か？また、それらは複素化接空間の分解からどのように構成されるか？
• RQ5 正則関数空間上での複素構造の作用から生じる𝔲(2)の表現は何か？そして、標準的正則表現とはどのように異なるか？

主な発見

• torsion-free線形写像 J: 𝔰𝔲(2) → 𝔰𝔲(2) が最大ランクのタイプCR0のCR構造であることが示され、分類の基礎が得られる。
• 𝔲(2)および𝔰𝔲(2)⊕𝔰𝔲(2)上の可積分な複素構造の集合は、滑らかな多様体をなしており、これらのケースについて明示的な証明が与えられる。
• 開部分集合 W ⊂ SU(2)×SU(2) 上に明示的な正則座標 (z¹, z², z³) が構成され、Z: W → ℂ³ は正則な双対写像である。
• 正則座標は z¹ = e^{iφ₁} cot(θ₁/2), z² = e^{iφ₂} cot(θ₂/2), および z³ = e^{iψ₁/2} e^{(η(1+iξ)/(1+ξ²)) ψ₂/2} √(sin θ₁) √(sin θ₂) で与えられる。
• SU(2)×SU(2)上の複素構造に由来する正則関数空間上への誘導表現は、ユニタリ表現の非自明な拡張であり、正則表現とは異なる。
• q ∈ 2ℤ のとき、ℋ_q は D^q(2(k−1)) と ↑_{−k}^q ⊕ ↓_{−k}^q との非自明な拡張であり、q = 2k のとき、D^q(2k) と ↑_{−k−1}^q または ↓_{−k−1}^q との非自明な拡張である。これにより、非ユニタリ的かつ非正則的行動が示される。