[論文レビュー] Left-invariant CR structures on 3-dimensional Lie groups

Gil Bor, Howard Jacobowitz|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2019

Holomorphic and Operator Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、カルタンの同値法と適切に選んだ自己同型フレームを用いて、4つの3次元リー群—SL₂(ℝ)、SU₂、ヘイゼンベルク群、ユークリッド群—における左不変CR構造を現代的で体系的な方法で分類する。SL₂(ℝ)には、接触分布がキリング計量の零錐とどのように交わるかによって区別される、楕円型と双曲型の2つの異なる1パラメータ族のCR構造が存在し、低次元の複素表現を用いて実現可能であることが示された。

ABSTRACT

The systematic study of CR manifolds originated in two pioneering 1932 papers of Élie Cartan. In the first, Cartan classifies all homogeneous CR 3-manifolds, the most well-known case of which is a one-parameter family of left-invariant CR structures on $\mathrm{SU}_2 = S^3$, deforming the standard `spherical' structure. In this paper, mostly expository, we illustrate and clarify Cartan's results and methods by providing detailed classification results in modern language for four 3-dimensional Lie groups. In particular, we find that $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ admits two one-parameter families of left-invariant CR structures, called the elliptic and hyperbolic families, characterized by the incidence of the contact distribution with the null cone of the Killing metric. Low dimensional complex representations of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ provide CR embedding or immersions of these structures. The same methods apply to all other three-dimensional Lie groups and are illustrated by descriptions of the left-invariant CR structures for $\mathrm{SU}_2$, the Heisenberg group, and the Euclidean group.

研究の動機と目的

• 1932年にエリ・カルタンが行った同調的CR 3次元多様体の分類を、現代の微分幾何学的言語に再解釈し、明確化すること。
• SL₂(ℝ)、SU₂、ヘイゼンベルク群、ユークリッド群という4つの3次元リー群におけるすべての左不変CR構造を体系的に分類すること。
• キリング計量の零錐との接触分布の交わりを用いて、SL₂(ℝ)におけるCR構造を特徴づけ、楕円型と双曲型の族を区別すること。
• 低次元の複素表現を用いてこれらのCR構造の実現可能性を確立し、CR埋め込みまたは浸漬を提供すること。
• CR 3次元多様体の最大対称性群が8次元であるための必要十分条件は、それが球面的であることであり、その場合SU₂がPU₂,₁対称性を有する唯一の例であることを示すこと。

提案手法

• カルタンの同値法を適用し、適切に選んだ自己同型フレームとムルレ＝カルタン構造方程式を用いて、3次元リー群におけるCR構造を分類する。
• 左不変な適切に選んだフレーム (φ, φ₁) を用い、dφ = iφ₁ ∧ φ̄₁ および dφ₁ = aφ₁ ∧ φ̄₁ + bφ ∧ φ₁ + cφ ∧ φ̄₁ を満たす複素定数 a, b, c を導入する。
• CR幾何学と整合するための代数的条件を導出：b + b̄ = 0 および a c̄ = ā c。
• 構造定数に関する方程式系(19)を解き、r, s, および φⱼ (j=2,3,4) を a, b, c の関数として明示的に計算する。
• カルタンのCR曲率不変量 R が消えることから、球面的性を特定し、c(2|a|² + 9ib) = 0 という基準を導出する。
• 移動フレーム理論と H-不変性を用いて、CR 3次元多様体の自己同型群の次元が8以下であり、8であるための必要十分条件が構造が球面的であることであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL₂(ℝ)における左不変CR構造の完全な族は何か？それらは幾何的にどのように異なるか？
• RQ2 キリング計量の零錐との接触分布の交わりを用いて、3次元リー群におけるCR構造をどのように分類できるか？
• RQ3 どの3次元リー群が非球面的左不変CR構造を有し、それらはどのように複素表現を用いて実現されるか？
• RQ4 3次元CR多様体のCR自己同型群の最大次元は何か？それはどのような条件下で達成されるか？
• RQ5 3次元リー群における左不変CR構造が球面的であるための条件は何か？そして、代数的にどのように検出できるか？

主な発見

• SL₂(ℝ)には、接触分布がキリング計量の零錐と交わる仕方によって区別される、楕円型と双曲型の2つの異なる1パラメータ族の左不変CR構造が存在する。
• SL₂(ℝ)におけるCR構造が球面的であるための必要十分条件は、c(2|a|² + 9ib) = 0 であり、これはカルタンのCR曲率不変量 R が消えることから導出された。
• 任意の連結なCR 3次元多様体の自己同型群の次元は最大8であり、次元が8であるための必要十分条件は構造が球面的であることである。
• SU₂では自己同型群がPU₂,₁であり、S³の開集合間の任意の局所CR微分同相写像が、一意にPU₂,₁の全域的元に拡張可能である。
• ヘイゼンベルク群とユークリッド群はそれぞれ、左不変CR構造の1つの族を有し、後者は球面的である。
• SL₂(ℝ)の低次元複素表現により、楕円型および双曲型族のCR構造の明示的なCR埋め込みまたは浸漬が得られる。