[論文レビュー] Left-invariant Lorentzian flat metrics on Lie groups

Malika Aitbenhaddou, Mohamed Boucetta+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、中心が自明または退化である場合に帰着させることで、Lorentz平坦リー代数の分類問題を簡略化する新しい特徴付けを提供する。すべての退化中心をもつLorentz平坦リー代数が、Riemann平坦リー代数からの二重拡張によって得られることを証明し、Aubert-Medinaの結果を一般化し、次元6までで完全な分類を提示する。

ABSTRACT

We call the Lie algebra of a Lie group with a left invariant pseudo-Riemannian flat metric pseudo-Riemannian flat Lie algebra. We give a new proof of a classical result of Milnor on Riemannian flat Lie algebras. We reduce the study of Lorentzian flat Lie algebras to those with trivial center or those with degenerate center. We show that the double extension process can be used to construct all Lorentzian flat Lie algebras with degenerate center generalizing a result of Aubert-Medina on Lorentzian flat nilpotent Lie algebras. Finally, we give the list of Lorentzian flat Lie algebras with degenerate center up to dimension 6.

研究の動機と目的

• Lorentz平坦リー代数の分類問題を、中心が自明または退化であるものに還元すること。
• Aubert-MedinaのノンアーベルLorentz平坦リー代数に関する結果を、退化中心をもつすべてのLorentz平坦リー代数にまで二重拡張構成を一般化すること。
• 次元6までで、退化中心をもつLorentz平坦リー代数の完全なリストを提供すること。
• 左不変キリングベクトル場のリー代数を用いて、Riemann平坦リー代数のMilnorの特徴付けを再証明すること。
• 退化中心または自明中心のケースへの還元を可能にする、キリングベクトル場代数に関連する重要な補題を確立すること。

提案手法

• Riemann平坦リー代数から出発して、二重拡張法を用いて、すべての退化中心をもつLorentz平坦リー代数を構成する。
• 曲率演算子が恒等的に消えること、すなわち左対称代数の条件に等価であることから、Levi-Civita積と曲率公式を用いて平坦性を定義する。
• 平均曲率ベクトルと単模性条件（H = 0）を用いて、得られるリー代数の完備性を保証する。
• 随伴表現と恒等式 $\mathrm{ad}_u = \mathrm{L}_u - \mathrm{R}_u $ を用いて、Levi-Civita積とリー括弧積との関係を確立する。
• 二重拡張データを定義するための条件 $[D, \xi] = \xi^2 - \mu\xi - \mathrm{R}_{b_0}$ と1-コサイクル条件 $\xi([a,b]) = \mathrm{L}_a\xi(b) - \mathrm{L}_b\xi(a)$ を実装する。
• Koszulの公式を用いてLevi-Civita積を導出する：$2\langle uv, w\rangle = \langle[u,v],w\rangle + \langle[w,u],v\rangle + \langle[w,v],u\rangle$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lorentz平坦リー代数の分類問題を、中心が自明または退化であるものにどのように還元できるか。
• RQ2 ノンアーベルLorentz平坦リー代数に用いられた二重拡張法を、退化中心をもつすべてのLorentz平坦リー代数に一般化できるか。
• RQ3 次元6までで、退化中心をもつLorentz平坦リー代数の完全なリストは何か。
• RQ4 左不変キリングベクトル場のリー代数は、平坦な擬リーマン多様体上のリー代数を特徴付けるのにどのように役立つか。
• RQ5 自己準同型 $\xi$, $D$, $b_0$, および $\mu$ にどのような条件を課えると、二重拡張によってLorentz平坦リー代数が得られるか。

主な発見

• すべての退化中心をもつLorentz平坦リー代数は、Riemann平坦リー代数からの二重拡張によって構成可能である。
• 二重拡張によって得られるリー代数は単模的であり、平均曲率ベクトルが消えるため完備である。
• Lorentz平坦リー代数の分類問題は、完全に中心が自明または退化であるケースに還元可能である。
• 左不変キリングベクトル場のリー代数を用いて、Riemann平坦リー代数に関するMilnorの定理の新たな証明が与えられた。
• 本稿では、次元6までで退化中心をもつLorentz平坦リー代数の完全なリストを提示しており、2-可解型、3-冪零型、3-可解型を含む。
• 各同型類に対して、明示的な計量の行列表現が提供されており、平坦性および非退化性を保証するパラメータの条件（例：$\alpha > 0$、$\alpha c^2 \neq 1$、$\alpha\beta - \gamma^2 = 1$）が明示されている。