[論文レビュー] Left-right crossings in the Miller-Abrahams random resistor network on a Poisson point process

Alessandra Faggionato, Hlafo Alfie Mimun|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$) におけるポアソン点過程上に定義されたミラー＝アブラハムスのランダム抵抗ネットワークを研究しており、導電度は距離とともに指数関数的に減少し、i.i.d. のマークに依存する。有界で非負（または非正）のマークの下で、上臨界相において $n \times n$ のボックス内での頂点に分けられた左端から右端への通路の数が、高確率で $Cn^{d-1}$ 以上であることを証明している。これはモットの法則を証明するための重要な一歩である。

ABSTRACT

We consider the Miller-Abrahams (MA) random resistor network built on a homogeneous Poisson point process (PPP) on $\mathbb{R}^d$, $d\geq 2$. Points of the PPP are marked by i.i.d. random variables and the MA random resistor network is obtained by plugging an electrical filament between any pair of distinct points in the PPP. The conductivity of the filament between two points decays exponentially in their distance and depends on their marks in a suitable form prescribed by electron transport in amorphous materials. The graph obtained by keeping filaments with conductivity lower bounded by a threshold $\vartheta$ exhibits a phase transition at some $\vartheta_{ m crit}$. Under the assumption that the marks are nonnegative (or nonpositive) and bounded, we show that in the supercritical phase the maximal number of vertex-disjoint left-right crossings in a box of size $n$ is lower bounded by $Cn^{d-1}$ apart an event of exponentially small probability. This result is one of the main ingredients entering in the proof of Mott's law in [4].

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$) における均一なポアソン点過程上に定義されたミラー＝アブラハムスのランダム抵抗ネットワークの接続性特性を分析すること。
• 特に上臨界領域におけるネットワークの導電度構造の相転移を理解すること。
• ボックスサイズ $n$ における頂点に分けられた左端から右端への通路の数の下界を確立すること。これはモットの法則の証明に不可欠である。

提案手法

• すべてのポアソン点のペア間にエッジを形成するランダムグラフとしてネットワークをモデル化し、導電度は距離に指数関数的に依存し、i.i.d. のマークに依存する。
• 導電度 $\geq \vartheta$ のフィラメントのみを保持するための閾値 $\vartheta$ を定義し、ランダム部分グラフを形成する。
• 確率論的手法を用いて、$\vartheta > \vartheta_{\text{crit}}$ の場合の部分グラフの接続性を分析し、特に上臨界相に注目する。
• 大偏差およびパーコレーションの議論を用いて、頂点に分けられた左端から右端への通路の数が、高確率で少なくとも $Cn^{d-1}$ のオーダーで増加することを示す。
• マークの有界性と符号制約（非負または非正）を活用して、導電度の変動を制御し、堅牢な接続性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン点過程上に定義されたミラー＝アブラハムスネットワークの上臨界相において、ボックスサイズ $n$ 内での頂点に分けられた左端から右端への通路の数の漸近的挙動は何か？
• RQ2 導電度が距離に指数関数的に減少し、i.i.d. のマークに依存する場合、ネットワークの接続性特性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 このような通路の数に対して、$Cn^{d-1}$ のオーダーの下界を、指数的に小さい確率の事象を除いて確立できるか？
• RQ4 マークの有界性と符号制約が、この接続性スケーリングを保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 上臨界相において、ボックスサイズ $n$ 内での頂点に分けられた左端から右端への通路の数は、高確率で $Cn^{d-1}$ 以上である。ここで $C > 0$ は $n$ に依存しない定数である。
• この結果は、マークが有界であり、かつすべて非負またはすべて非正であるという仮定のもとで成り立つ。これにより導電度の挙動が安定することが保証される。
• この下界から逸脱する確率は $n$ とともに指数関数的に減少するため、このスケーリング挙動は強く典型的であることが示された。
• ネットワークは上臨界領域において、巨視的な導電経路の出現に一致する、極めて高い接続性の強度を示している。