[論文レビュー] Legendre-Gauss-Lobatto grids and associated nested dyadic grids

Kolja Brix, Claudio Canuto+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、ルジャンドル＝ガウス＝ルジャンドル（LGL）グリッドに関連する、非再帰的LGLノードの根本的問題を解決する、新しい種類のネストされた二分グリッド族を導入する。LGLグリッドの精密な解析的性質を導出し、再帰的細分化アルゴリズムを用いて二分グリッドを構築することで、得られたグリッドがLGLグリッドに対して局所的に一様に同等であり、最適な基数を維持することを確立した。これにより、高次偏微分方程式ソルバーにおける強固な前処理が可能になる。

ABSTRACT

Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) grids play a pivotal role in nodal spectral methods for the numerical solution of partial differential equations. They not only provide efficient high-order quadrature rules, but give also rise to norm equivalences that could eventually lead to efficient preconditioning techniques in high-order methods. Unfortunately, a serious obstruction to fully exploiting the potential of such concepts is the fact that LGL grids of different degree are not nested. This affects, on the one hand, the choice and analysis of suitable auxiliary spaces, when applying the auxiliary space method as a principal preconditioning paradigm, and, on the other hand, the efficient solution of the auxiliary problems. As a central remedy, we consider certain nested hierarchies of dyadic grids of locally comparable mesh size, that are in a certain sense properly associated with the LGL grids. Their actual suitability requires a subtle analysis of such grids which, in turn, relies on a number of refined properties of LGL grids. The central objective of this paper is to derive just these properties. This requires first revisiting properties of close relatives to LGL grids which are subsequently used to develop a refined analysis of LGL grids. These results allow us then to derive the relevant properties of the associated dyadic grids.

研究の動機と目的

• ルジャンドル＝ガウス＝ルジャンドル（LGL）グリッドがネストされていないという根本的制限を解消すること。これは、高次不連続ガラーキン法における効率的な前処理を妨げる。
• LGLグリッドに対して局所的に一様に同等となるネストされた二分グリッドの階層を構築し、補助空間法における補助問題の安定的かつ効率的な解法を可能にすること。
• LGLグリッドの解析的性質を厳密に確立し、ノード間隔や区間サイズの単調性を含む。これにより、関連する二分グリッドの構築の基盤を提供すること。
• 得られた二分グリッドがLGLグリッドに対して最適な基数を維持し、強い局所的同等性バインディングを満たすことを証明すること。
• ネスト性を保ちつつメッシュ品質と局所的均一性を維持する、このような二分グリッドを生成する構成的アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• LGLグリッドの精緻な性質を再検討し、区間サイズの単調性や境界付近のノード集積を、チェビシェフ＝ガウス＝ルジャンドルノードを基準として用いて導出する。
• 局所的同等性をLGLグリッドに保つために必要な場合にのみ区間を分割する再帰的グリッド細分化アルゴリズム（アルゴリズム2）を導入する。
• 任意の二分グリッド区間Dとそれと交差するLGL区間Δに対して、|Δ|/|D|の比がαおよびLGL区間サイズ推定値から得られる定数Cgに依存する定数で有界であるという条件により、局所的均一性を確立する。
• 定理4.2により、LGL区間サイズの細分化における単調性を証明し、粗いグリッドの区間サイズが細分化によって増加しないことを示す。これにより安定性が保証される。
• LGLノードの導出された性質に依拠して、命題3を用いて二分グリッドが必要な局所的同等性および基数バインディングを満たすことを検証する。
• αというパラメータを用いて細分化の閾値を制御し、ネスト性を維持するために追加される点の数を最小限に抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LGLグリッドに対して局所的に一様に同等となるネストされた二分グリッドの階層を構築することは可能か？
• RQ2 関連する二分グリッドが局所的均一性と最適な基数を維持できるために、LGLグリッドに必要な精緻な解析的性質は何か？
• RQ3 高次不連続ガラーキン法および補助空間前処理の文脈において、LGLグリッドの非ネスト性はどのように克服できるか？
• RQ4 同じ領域における二分グリッド区間とそれに対応するLGL区間のサイズの関係は何か？ そして、これは一様に有界にできるか？
• RQ5 得られた二分グリッドにおける点の数が、元のLGLグリッドと比較して同程度であることを示せるか？

主な発見

• アルゴリズム2によって生成された二分グリッドは、LGLグリッドに対して局所的(A,B)-一様同等であり、|Δ|/|D|の比にαおよびLGL区間サイズ推定値から得られる定数Cgに依存するバインディングが存在する。
• 二分グリッドの基数は#D_N ≃ #G^LGL_Nを満たし、LGLグリッドと同様の漸近的成長率で点数が増加することが示された。
• 構築手法により、ネスト性を達成するために追加される点の数が最小限に抑えられていることが、図7の数値プロットで確認された。
• 証明は、LGL区間サイズの細分化における単調性に依拠しており、これはチェビシェフ＝ガウス＝ルジャンドルノードとの比較によって確立された。
• 二分グリッドは補助空間法に使用するための主要な要件を満たしている：ネストされており、LGLグリッドと同程度の局所的メッシュサイズを維持している。
• 結果は、高次スペクトル法および不連続ガラーキン法における強固な前処理子の構築の理論的基盤を確認した。