[論文レビュー] Legendre transformation for regularizable Lagrangians in field theory

Olga Krupková, Dana Smetanová|ArXiv.org|Nov 1, 2001

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Lepage形式を用いた正則化可能なラグランジアンの一般化されたルジャンドル変換を、場の理論において導入し、通常の理論では非正則であるが、正則化可能なハミルトニアン形式を可能にする。特に、ディラック場や電磁場のような非正則なラグランジアンに対しても、制約のないハミルトニアン形式を提供する。主な貢献は、一次場理論におけるアフィン的および二次的ラグランジアンに対して一貫性があり制約のないハミルトニアン枠組みを確立することである。

ABSTRACT

Hamilton equations based not only upon the Poincare--Cartan equivalent of a first-order Lagrangian, but rather upon its Lepagean equivalent are investigated. Lagrangians which are singular within the Hamilton--De Donder theory, but regularizable in this generalized sense are studied. Legendre transformation for regularizable Lagrangians is proposed, and Hamilton equations, equivalent with the Euler--Lagrange equations, are found. It is shown that all Lagrangians affine or quadratic in the first derivatives of the field variables are regularizable. The Dirac field and the electromagnetic field are discussed in detail.

研究の動機と目的

• 標準的な正則性条件では特異的だが、Lepage形式を用いて正則化可能なラグランジアンのためのルジャンドル変換を開発すること。
• このような正則化可能なラグランジアンに対して、Euler–Lagrange方程式と同等のハミルトニアン方程式（特にハミルトニアン $p_2$-方程式）を確立すること。
• 一次微分に関してアフィン的または二次的なすべてのラグランジアンが正則化可能であり、ハミルトニアン形式で制約を回避できることを示すこと。
• この一般化されたアプローチを用いて、ディラック場および電磁場の明示的な運動量とハミルトニアンを提供すること。
• 特定の条件下で、ハミルトニアン $p_2$-方程式が同等のラグランジアンの標準的ハミルトニアン方程式と一致することを示すこと。

提案手法

• Poincaré–Cartan形式を超える、高々2接触形式であるラグランジアンのLepage形式を用いる。
• Lepage形式から導出された一般化されたハミルトニアン力学の形式、すなわちハミルトニアン $p_2$-方程式を適用する。
• 行列 $\left(\frac{\partial^2 L}{\partial y^\sigma_i \partial y^\nu_k} + \frac{\partial^2 L}{\partial y^\sigma_k \partial y^\nu_i}\right)$ の非退化性に基づく正則性条件を導入し、標準的なヘッセ行列条件を一般化する。
• 一般化されたヘッセ行列を用いて定義される運動量写像の逆写像により、ルジャンドル変換を導出する。アフィン的および二次的ラグランジアンに対しては逆写像が保証される。
• 運動量の逆変換を用いて、ルジャンドル座標におけるハミルトニアンを構成し、Euler–Lagrange方程式と同等になるように保証する。
• 形式的枠組みをディラック場および電磁場に適用し、明示的な運動量とハミルトニアンを計算し、既知の場の理論方程式と同等であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な正則性条件では特異的だが、Lepage形式による正則化が可能なラグランジアンに対して、一貫性のあるルジャンドル変換を定義できるか？
• RQ2 Lepage形式から導かれるハミルトニアン $p_2$-方程式は、特異的だが正則化可能なラグランジアンに対して、Euler–Lagrange方程式と同等のものとなるか？
• RQ3 この一般化された枠組みにおいて、一次微分に関してアフィン的または二次的なすべてのラグランジアンが正則化可能であり、制約のないハミルトニアン形式を有するか？
• RQ4 一般化されたルジャンドル変換により、ディラック場や電磁場のような特定の物理的場の標準的ハミルトニアン構造を回復できるか？
• RQ5 どのような条件下で、ハミルトニアン $p_2$-方程式は同等のラグランジアンの標準的ハミルトニアン方程式と一致するか？

主な発見

• 一次微分に関してアフィン的または二次的なすべてのラグランジアンは、提案された枠組みにおいて正則化可能であり、一般化されたヘッセ行列が非退化であるためである。
• 電磁場ラグランジアン $L = \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ に対して、行列 $\left(\frac{\partial^2 L}{\partial y^\sigma_i \partial y^\nu_k} + \frac{\partial^2 L}{\partial y^\sigma_k \partial y^\nu_i}\right)$ は非退化であり、正則化可能性が確認された。
• 電磁場の運動量は、$\mu \ne \nu$ の場合、$p^\mu_\nu = 4\partial_\nu A^\mu - 3\partial^\mu A^\nu$ であり、$p^\mu_\mu = 4\sum_{\alpha \ne \mu} \partial_\alpha A^\mu$ である。逆変換は明示的に計算された。
• ルジャンドル座標における電磁場のハミルトニアンは $H = -\frac{1}{12}\sum (p^\mu_\mu)^2 - \frac{1}{16}\sum (p^\mu_\nu)^2 - \frac{3}{8}\sum p^\mu_\nu p^\nu_\mu$ であり、Dedonder化に起因する追加項を含む。
• 空間 $X = \mathbb{R}^2$ におけるディラック場に対して、運動量は $p^1_1 = 4y^2_2$、$p^1_2 = -3y^1_2 + y^2_1$、$p^2_2 = 4y^1_1$、$p^2_1 = y^1_2 - 3y^2_1$ であり、ハミルトニアンは $H = \frac{1}{4}p^1_1 p^2_2 - \frac{3}{8}p^1_2 p^2_1 - \frac{1}{16}(p^1_2)^2 - \frac{1}{16}(p^2_1)^2$ である。
• 電磁場のハミルトニアン $p_2$-方程式は、マクスウェル方程式と同等であり、標準的場理論と一貫性があることが確認された。