[論文レビュー] Legendrian mirrors and Legendrian isotopy

Lenhard Ng|ArXiv.org|Aug 28, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、FuchsとTabachnikovが提起した問題に答え、標準接触R³内のすべてのLegendrian絡み目が、0のMaslov指数でさえも、その鏡像とLegendrian同相でないことを示している。Chekanovの微分的可換代数（DGA）不変量を用いて、Thurston-Bennequin不変量−7で滑らか型6₂である特定のLegendrian絡み目を構成し、そのDGAホモロジー代数が鏡像のそれと同型でないことを示した。これにより、代数的不変量を用いて非同相性が証明された。

ABSTRACT

We resolve a question of Fuchs and Tabachnikov by showing that there is a Legendrian knot in standard contact three-space with zero Maslov number which is not Legendrian isotopic to its mirror. The proof uses the differential graded algebras of Chekanov.

研究の動機と目的

• 標準接触R³内のすべてのLegendrian絡み目がその鏡像とLegendrian同相であるかどうかという、接触位相幾何学における長年の問いを解決すること。
• 0のMaslov指数を持つ絡み目であっても、Legendrian絡み目の鏡像操作がLegendrian同相類を保存しないことを示すこと。
• Chekanovの微分的可換代数不変量を用いて、Legendrian同相類を区別するための道具とすること。
• 滑らか型6₂でThurston-Bennequin不変量−7である特定のLegendrian絡み目を用いて、具体的な反例を構成すること。
• Legendrian絡み目とその鏡像のDGAホモロジー代数が同型でないことを示し、非同相性を証明すること。

提案手法

• 論文は、Z/2Z上のChekanovの微分的可換代数（DGA）不変量を用い、Legendrian絡み目のフロントプロジェクションにおける交差に対応する生成子によって定義される。
• DGAは、図1に示すxy平面への射影をもつLegendrian絡み目Kから構成され、11個の生成子a₁からa₁₁が、それぞれ次数を割り当てられている。
• DGA上の微分∂は、絡み目の図式に基づく組み合わせ的ルールによって計算され、各生成子について明示的な式が与えられている。
• 鏡像絡み目M(K)は、x軸に関して図式を反転させることで得られ、微分における単項式の順序が逆転する。
• 主な議論は、KおよびM(K)のホモロジー代数において、それぞれH₁およびH₋₁に属する元x, yが存在し、xy = 1を満たすかを比較することに集約される。
• 商代数の構成と次数解析を用いて、1 ∉ H₋₁(K) · H₁(K)であることを背理法で示し、これにより矛盾を導出する。その際、次数−1および1の2生成子からなる自由代数への写像が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準接触R³内のすべてのLegendrian絡み目は、その鏡像とLegendrian同相であるか？
• RQ2 0のMaslov指数を持つ絡み目に対して、ChekanovのDGA不変量は、絡み目とその鏡像を区別できるか？
• RQ3 ホモロジー群H₋₁とH₁の積に単位元が存在することは、鏡像操作の下での同相不変性を示唆するか？
• RQ4 DGAホモロジー代数がその鏡像と同型でないようなLegendrian絡み目を構成できるか？
• RQ5 すべてのLegendrian絡み目が、向きを反転させることで鏡像と同相になるという予想に対して、反例は存在するか？

主な発見

• Thurston-Bennequin不変量−7でMaslov指数0の滑らか型6₂のLegendrian絡み目Kは、その鏡像M(K)とLegendrian同相でない。
• KのChekanov DGAは、H₋₁(K) · H₁(K)に単位元をもち、具体的には1 = a₁₀ · (a₅a₃) または a₁₀ · a₁₁ として表される。
• M(K)のChekanov DGAは、鏡像操作による単項式の逆転のため、H₋₁(M(K)) · H₁(M(K))に単位元をもつ。
• しかし、2つの生成子（次数−1および1）からなる商代数の構成と次数解析を用いて、1 ∉ H₋₁(K) · H₁(K)であることが背理法で証明された。
• その背理の根拠は、商代数における任意の次数−1の元は、少なくとも1つのαを含む必要があるため、その積が1に等しくなることは不可能であるということに起因する。
• したがって、KとM(K)のホモロジー代数は同型ではなく、KとM(K)がLegendrian同相でないことが証明された。