[論文レビュー] Legendrian Submanifolds in $R^{2n+1}$ and Contact Homology

Tobias Ekholm, John B. Etnyre+1 more|ArXiv.org|Oct 8, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$\ mathbb{C}^n$ 内のラグランジュ境界条件をもつホロモルフィックディスクのモジュライ空間を用いて、標準的接触$(2n+1)$-次元空間内のレジェンドリアン部分多様体の接触ホモロジーを厳密に定義する。これにより、古典的不変量が同一であるが非レジェンドリアン同相でない$n$-球面、$n$-トーラス、および曲面の無限族を検出できる新しい不変量が確立され、古典的不変量を超えた高次元レジェンドリアン絡みの豊かな構造が明らかにされる。

ABSTRACT

Contact homology for Legendrian submanifolds in standard contact $(2n+1)$-space is rigorously defined using moduli spaces of holomorphic disks with Lagrangian boundary conditions in complex $n$-space. It provides new invariants of Legendrian isotopy. Using these invariants the theory of Legendrian isotopy is shown to be very rich. For example, infinite families of pairwise non-isotopic Legendrian $n$-spheres and $n$-tori, which are indistinguishable by means of previously known invariants, are constructed. In a sense, the definition of contact homology presented in this paper is a high dimensional analog of the work of Chekanov and others on Legendrian 1-knots in 3-space.

研究の動機と目的

• 高次元接触多様体、特に標準的接触$\ mathbb{R}^{2n+1}$ 内のレジェンドリアン同相のための厳密で計算可能な不変量を構築すること。
• 3次元のレジェンドリアン紐結びから、ホロモルフィック曲線の技法を用いて高次元のレジェンドリアン部分多様体への接触ホモロジー枠組みを拡張すること。
• 次元$n > 1$において、古典的不変量（ススン＝ベンヌイン不変量および回転類）がレジェンドリアン同相型を分類するのに不十分であることを示すこと。
• $\ mathbb{C}^n$ 内の射影上に境界を持つホロモルフィックディスクを用いて新しい不変量を構成し、レジェンドリアン同相に対して不変であることを証明すること。
• 接触ホモロジーが、同一の古典的不変量を持つが非同相なレジェンドリアン$n$-球面、$n$-トーラス、および曲面の無限族を検出できることを示すこと。

提案手法

• 生成子がレジェンドリアン部分多様体の$\ mathbb{C}^n$ への射影の二重点に対応する微分付き代数$({\mathcal{A}}, \partial)$ を用いて接触ホモロジーを定義する。
• 微分$\partial$ を、$\ mathbb{C}^n$ 内のラグランジュ境界条件をもつ剛性のあるホロモルフィックディスクの数え上げにより構成する。そのディスクは射影の二重点で穴が開いている。
• コンフォーマル再パrametrizationおよびバブルツリー解析を用いてホロモルフィックディスクのモジュライ空間のコンパクト化を行い、コンパクト性と収束性を保証する。
• 一般の1パrameter族のレジェンドリアン部分多様体におけるモジュライ空間の分岐解析を適用し、レジェンドリアン同相に対して不変であることを証明する。
• レジェンドリアン浸漬の$h$-原理を用いて、正則ホモトピー型とレジェンドリアン部分多様体の回転類を関連付ける。
• シンプレクティック場理論およびホロモルフィック曲線理論の結果、特にコンパクト性定理と面積推定を用いて、極限におけるエネルギー集中および点質量を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロモルフィック曲線を用いて、$\ mathbb{R}^{2n+1}$ 内のレジェンドリアン部分多様体に対する接触ホモロジーを厳密に定義できるか？
• RQ2 古典的不変量が固定された状態で、接触ホモロジーが非レジェンドリアン同相なレジェンドリアン$n$-球面、$n$-トーラス、および曲面を検出できるか？
• RQ3 接触ホモロジーはレジェンドリアン同相に対して不変であるか？ その不変性はモジュライ空間の分岐解析によってどのように証明されるか？
• RQ4 次元$n > 1$において、同一の古典的不変量を持つ非同相なレジェンドリアン部分多様体の無限族を理論が検出できるか？
• RQ5 レジェンドリアン部分多様体の$\ mathbb{C}^n$ への射影と、接触ホモロジーの定義に用いられるホロモルフィックディスクの関係は何か？

主な発見

• 接触ホモロジーは、標準的接触$\ mathbb{R}^{2n+1}$ 内のレジェンドリアン部分多様体に対して、well-defined かつレジェンドリアン同相に対して不変であり、新たな代数的不変量を提供する。
• 任意の$n > 1$に対して、同じ古典的不変量を持つが非レジェンドリアン同相なレジェンドリアン$n$-球面の無限族が存在する。
• 理論は、固定されたススン＝ベンヌイン不変量および回転類を持つ、無限個のレジェンドリアン$n$-トーラスおよび曲面の同型類を検出できる。
• 任意の$N > 0$に対して、固定された古典的不変量を持つレジェンドリアン同型類の$n$-球面および$n$-トーラスのうち、$\ mathbb{R}^{2n}$ への射影で$N$個未満の二重点をもたない代表元を持たないものが存在する。
• 接触ホモロジーの微分は、射影されたラグランジュ部分多様体上に境界を持ち、二重点で穴が開いた剛性のあるホロモルフィックディスクの数え上げにより定義され、チェカノフの3次元構成を一般化する。
• 不変性の証明は、一般のレジェンドリアン同相の下でのホロモルフィックディスクのモジュライ空間の分岐解析に依拠しており、フローリング理論の技法に類似している。