[論文レビュー] Leibniz algebras, Lie racks, and digroups

Michael Kinyon|ArXiv.org|Mar 30, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 56

ひとこと要約

本稿では、Leibniz代数へのLieの三番目の定理の一般化として、split Leibniz代数が線形Lie双群の接空間として現れることを示し、その双群から随伴的演算によってLieラック構造が誘導されることを示すことにより、coquecigrue問題の解決候補としてLieラックとLie双群を提案する。主な結果は、線形Lie双群とそれに関連するラックを用いたsplit Leibniz代数に対するLieの三番目の定理の類似である。

ABSTRACT

The "coquecigrue" problem for Leibniz algebras is that of finding an appropriate generalization of Lie's third theorem, that is, of finding a generalization of the notion of group such that Leibniz algebras are the corresponding tangent algebra structures. The difficulty is determining exactly what properties this generalization should have. Here we show that \emph{Lie racks}, smooth left distributive structures, have Leibniz algebra structures on their tangent spaces at certain distinguished points. One way of producing racks is by conjugation in \emph{digroups}, a generalization of group which is essentially due to Loday. Using semigroup theory, we show that every digroup is a product of a group and a trivial digroup. We partially solve the coquecigrue problem by showing that to each Leibniz algebra that splits over its ideal generated by squares, there exists a special type of Lie digroup with tangent algebra isomorphic to the given Leibniz algebra. The general coquecigrue problem remains open, but Lie racks seem to be a promising direction.

研究の動機と目的

• Leibniz代数に対するLie群の一般化としての群的構造を特定する、未解決のcoquecigrue問題に取り組む。
• Lie代数におけるJacobi恒等式の導出の背後にある本質的な代数的構造を特定し、群乗法ではなく随伴的演算に注目する。
• Lieラック—滑らかな左分配的多様体—がLeibniz代数を接空間として実現できることを示す。
• split Leibniz代数が線形Lie双群の接代数として現れることを示し、coquecigrue問題の部分的解決を提供する。
• 二つの整合性のある演算を持つ群の一般化としての双群が自然にラック構造を生じさせ、微分によりLeibniz代数が得られることを確立する。

提案手法

• Lieラックを滑らかな多様体に左分配的二項演算を備えたものとして定義し、その接空間がLeibniz代数構造を持つことを示す。
• 線形LieラックをLie群とモジュールの積として定義し、随伴的演算から導かれる特定のラック演算を備える。
• 双群を二つの二項演算（左および右の群的演算）を持つ集合として定義し、共通の単位元集合を保証する整合性条件を満たす。
• 半群論を用いて、任意の双群が群と自明な双群の積に同型であることを証明し、構造的解析を可能にする。
• 双群における随伴的演算 $ x \triangleright y = x \triangleright y \triangleleft x^{-1} $ を定義し、これがラック公理を満たすことを示す。
• Lie群 $ H $ と $ H $-モジュール $ V $ を用いて $ V \times H $ 上に線形Lie双群を構成し、演算 $ (u,A) \triangleright (v,B) = (Av, ABA^{-1}) $ を定める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 coquecigrue問題—Leibniz代数へのLieの三番目の定理の一般化—は、群概念の適切な一般化を特定することによって解決可能か？
• RQ2 Lie代数におけるJacobi恒等式の導出の背後にある代数的構造は何か？ そしてそれはLeibniz代数へ一般化可能か？
• RQ3 Lieラックは、特にsplitの場合に、Leibniz代数を接代数として実現するための実用的枠組みを提供するか？
• RQ4 二つの整合性のある演算を持つ群の一般化としての双群は、Leibniz代数のための望ましいcoquecigrue対象として機能可能か？
• RQ5 与えられたsplit Leibniz代数の単位元における接代数と同型となるLie双群の構成は可能か？

主な発見

• 任意のsplit Leibniz代数 $ \mathfrak{g} $ は、その単位元における接代数が $ \mathfrak{g} $ と同型となる線形Lie双群構造を持つ。これはcoquecigrue問題の部分的解決を提供する。
• 線形Lie双群は随伴的演算 $ x \triangleright y = x \triangleright y \triangleleft x^{-1} $ を通じて線形Lieラックを誘導し、すべての線形Lieラックはこのような構造から得られる。
• Lie双群の単位元における接空間はLeibniz代数構造を備え、これはLie群のLie代数構造の一般化である。
• 任意の双群は、半群論的分解により群と自明な双群の積に同型であることが示された。
• Lie双群から誘導されるラック演算はラック公理を満たし、その単位元における接空間はLeibniz代数である。
• $ (u,A) \triangleright (v,B) = (Av, ABA^{-1}) $ を用いた $ V \times H $ 上の線形Lie双群の構成は、標準的な線形Lieラック構造を実現し、線形Lie双群と線形Lieラックの間の対応関係を確認する。