[論文レビュー] Leibniz, Randomness and the Halting Probability

Gregory J. Chaitin|ArXiv.org|Jun 3, 2004

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、アルゴリズム的情報理論を用いて、1686年にライプニッツが提唱した、秩序とランダムネスの区別を再解釈する。ランダムネスは、ビット列のアルゴリズム的圧縮不能性によって定義される。著者はチャイティンのΩ数——数学的に定義された、アルゴリズム的にランダムな実数——を導入し、不可逆的な数学的真実を体現することで、形式的体系の本質的限界を示し、数学に対する準実験的アプローチの可能性を示唆する。

ABSTRACT

This paper, which is dedicated to Alan Turing on the 50th anniversary of his death, gives an overview and discusses the philosophical implications of incompleteness, uncomputability and randomness.

研究の動機と目的

• 現代のアルゴリズム的情報理論を用いて、ライプニッツが1686年に提唱した、構造的データとランダムデータの区別を再定式化すること。
• 数学的式の複雑さではなく、プログラムサイズによるランダムネスの定義を通じて、ライプニッツの複雑さ基準の曖昧さを解消すること。
• 停止確率Ωがアルゴリズム的にランダムであり、かつ最大限に知るべからざることを示すこと。これは、正確な数学的定義を持つにもかかわらずである。
• ゲーデルの不完全性定理とチューリングの停止問題が、数学的真実が本質的にランダムである可能性を示し、完全な形式的証明の理想を揺るがすことを主張すること。
• 未証明だが妥当性の高い仮説（例：P ≠ NP）を、物理理論と同様に基礎公理として扱う、準実験的数学の哲学を提唱すること。

提案手法

• 有限ビット列を、それらを生成する最小のプログラムが、自身の長さに達しない場合、すなわち圧縮不能である場合、アルゴリズム的にランダムと定義する。
• 自己区切り型プログラムを用いることで、アルゴリズム的複雑性を定義する際の堅牢性を確保し、初期の定式化における技術的欠陥を回避する。
• 自己区切り型プログラムの全停止プログラムについて、2^(-プログラム長さ) の和として停止確率Ωを構成する。
• Ωがアルゴリズム的にランダムであることを証明する：Nビット未満の公理を備えた任意の形式的体系では、Ωの2進展開のNビットを決定できない。
• Ωの個々のビットは数学的に決定的であるが、統計的にランダムに見えること——各ビットが0または1である確率は1/2である——ことを示す。
• Ωは圧縮も予測もできないため、理由のない真実である数学的事実の例として、最大限の数学的ランダムネスを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ライプニッツが1686年に提示した、ランダムなデータと法則的データを区別する基準を、現代の計算的概念を用いて形式化できるか？
• RQ2 方程式の複雑さではなく、アルゴリズム的圧縮不能性によって定義された数学的ランダムネスの本質は何か？
• RQ3 停止確率Ωは、数学的に定義されたが、本質的にランダムな数の具体的な例として成立するか？
• RQ4 Ωのアルゴリズム的ランダムネスは、数学的真実が本質的に知るべからずく、構造を持たない可能性をどの程度示唆するか？
• RQ5 Ωに内在するランダムネスは、物理学が未証明だが妥当性の高い仮説を基礎公理として扱うのと同様に、数学に準実験的アプローチを正当化できるか？

主な発見

• 停止確率Ωは数学的に明確に定義されているが、アルゴリズム的にランダムである：その個々のビットは、Nビット未満の公理を備えた任意の形式的体系によっても圧縮や予測ができない。
• Ωは最大限に知るべからざる：Nビット未満の複雑さの証明体系では、Ωの2進展開のNビットを決定できない。これは、理由のない真実である数学的事実の具体的な例である。
• Ωのビットは統計的にランダムに見える——それぞれが0または1である確率は1/2である——にもかかわらず、単純な数学的定義によって正確に決定されている。
• Ωの構成には自己区切り型プログラムが用いられ、これにより、初期のアルゴリズム的複雑性とランダムネスの定義における技術的欠陥が解消された。
• Ωは、ゲーデルの不完全性とチューリングの停止問題が、以前に認識されていなかったより深い形の数学的ランダムネスを生み出すことを示している。
• 本論文は、このランダムネスが、数学が未証明の仮説を基礎公理として扱う、物理学と同様の準実験的アプローチを採用する必要があるかもしれないと主張する。