[論文レビュー] Leibniz rule, locality and supersymmetry on lattice

Mitsuhiro Kato, Makoto Sakamoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限体積格子場理論におけるライプニッツ則に対する禁則定理を証明し、局所的差分作用素が非局所的積則を必要とすることを示している。非局所的積則を用いた新しい解のクラスを特定し、離散的運動量空間解析とフレーバー行列形式を用いて、有限フレーバー系と無限フレーバー理論の行列表現との間の長年の矛盾を解消した。

ABSTRACT

In a finite volume system, we prove a no-go theorem on a Leibniz rule with a care of locality argument on latttice. The new possibility on the Leibniz rule solutions on lattice is discussed. Although the new solution admits a local difference operator, a non-local product rule is needed. In the case, a supersymmetric interacting theory is simply realized. The difference between finite flavor systems and matrix representations of infinite flavor systems is explained based on a finite volume system analysis including the no-go theorem.

研究の動機と目的

• 超対称性の文脈において、有限フレーバー格子系と無限フレーバー理論の行列表現との間の不整合を解消すること。
• 正則関数の代わりに有界な離散関数を用いることで、局所性と並進不変性を保つ有限体積格子フレームワークを確立すること。
• 格子上での局所性と超対称性を保ちつつ、ライプニッツ則が満たされる条件を明確にすること。
• ライプニッツ則適合性と局所性の観点から、多フレーバー系と行列表現との違いを分析すること。

提案手法

• N乗根の単位根を用いた離散的運動量表現により、格子作用素と積則を定義する。
• 小さな虚部を伴う運動量空間関数の複素拡張を用い、指数的減衰によって局所性条件を定義する。
• フレーバー行列形式を導入し、解をタイプA（自明な差分作用素）とタイプB（自明な積則）に分類する。
• 無限フレーバー行列表現において、非ゼロの剰余項 R_L,M^pqr(ε) を含む修正されたライプニッツ則の行列形式を導出する。
• 有限系の禁則定理を適用し、有限フレーバー系では非自明な局所的差分作用素が自明な積則を強いることを示す。
• ジョルダン標準形を用いてフレーバー空間における差分作用素をパrameter化し、解の明示的分類を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限格子上において、非自明な局所的差分作用素と非自明な積則が、ライプニッツ則を満たしながら共存可能か？
• RQ2 無限フレーバー系の行列表現は、なぜ有限フレーバー系のライプニッツ則禁則定理を回避できるのか？
• RQ3 複素シフトを伴う離散的運動量空間関数が、有限格子上での局所性を定義する役割を果たすか？
• RQ4 有限フレーバー系と無限フレーバー理論の行列表現との間で、ライプニッツ則の解はどのように異なるか？
• RQ5 ライプニッツ則が非局所的積則を介してのみ満たされる場合、格子上での超対称性は一貫して実現可能か？

主な発見

• 有限体積格子系において、非自明な局所的差分作用素は積則を自明または非局所的にするという禁則定理が証明された。
• 差分作用素は局所的だが積則が非局所的な新しい解のクラスが存在し、これにより超対称的相互作用理論を構成可能である。
• 無限フレーバー系の行列表現は、フレーバー空間における境界条件に起因する非ゼロの剰余項 R_L,M^pqr(ε) のため、禁則定理を回避する。
• 有限フレーバー系では、ライプニッツ則を満たすには差分作用素か積則のどちらかが自明でなければならないため、タイプAとタイプBのフレーバーに分類される。
• 複素シフトを伴う離散的運動量空間解析により、局所性の十分かつ必要条件が得られ、変換された作用素に対して O(N⁰) の境界で表現される。
• 2番目の解のクラスにおける非局所的積則は、相互作用を含む一貫した超対称的作用素を可能とし、格子超対称性への実用的道筋を提供する。