[論文レビュー] Leibniz seminorms for "Matrix algebras converge to the sphere"

Marc A. Rieffel|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 65

ひとこと要約

本稿は、ノルム付き双加群への微分作用素、両立状態、ベレジン記号を用いて、行列代数上の強いライブニッツ半ノルムを構成し、それらが量子グロモフ＝ハウスドルフ距離において球面に収束することを示す。主な結果として、任意の ε > 0 に対して、N が存在し、次元 ≥ N の行列代数と球面（コンパクト C*-距離空間として）の間の量子グロモフ＝ハウスドルフ距離が ε 以下になることが保証される。この結果により、高エネルギー物理学におけるモノポール bundle の正確な対応関係が可能になる。

ABSTRACT

In an earlier paper of mine relating vector bundles and Gromov-Hausdorff distance for ordinary compact metric spaces, it was crucial that the Lipschitz seminorms from the metrics satisfy a strong Leibniz property. In the present paper, for the now non-commutative situation of matrix algebras converging to the sphere (or to other spaces) for quantum Gromov-Hausdorff distance, we show how to construct suitable seminorms that also satisfy the strong Leibniz property. This is in preparation for making precise certain statements in the literature of high-energy physics concerning "vector bundles" over matrix algebras that "correspond" to monopole bundles over the sphere. We show that a fairly general source of seminorms that satisfy the strong Leibniz property consists of derivations into normed bimodules. For matrix algebras our main technical tools are coherent states and Berezin symbols.

研究の動機と目的

• 高エネルギー物理学における『行列代数が球面に収束する』という記述や、『行列代数上のベクトル bundle が球面上のモノポール bundle に対応する』という記述に対して、厳密な数学的枠組みを提供すること。
• 量子距離空間を定義し、収束解析を可能にするために不可欠な強いライブニッツ性質を満たす半ノルムを、行列代数上に構成すること。
• 半ノンアーベル空間への量子グロモフ＝ハウスドルフ距離の理論を拡張するために、半ノルムが強いライブニッツ不等式（特に可逆元に対して $ L(a^{-1}) \leq \|a^{-1}\|^2 L(a) $）を満たすように保証すること。
• 群作用と両立状態に基づく明示的構成を用いて、球面と大きな行列代数との間の量子グロモフ＝ハウスドルフ距離を任意に小さくできることを確立すること。

提案手法

• ノルム付き双加群への微分作用素を、強いライブニッツ性質を満たす半ノルムの一般的源泉として用いる。
• コンパクトな単純なリー群の既約表現に関連する両立状態を用いて、行列代数上の状態依存半ノルムを定義する。
• ベレジン記号を用いて、ヒルベルト空間上の作用素と余随伴軌道上の関数を関連付け、球面および行列代数上の半ノルムの構成を可能にする。
• 半ノルムを $ A \oplus B^n $ 上に導入し、その商が元の $ A $ と $ B^n $ 上の半ノルムと一致するように「ブリッジ」を定義する。
• 行列代数 $ A \oplus B^n $ 上に半ノルムの族 $ L_n $ を定義し、$ A $ 上の商が $ L_A $、$ B^n $ 上の商が $ L_{B^n} $ となるようにし、量子グロモフ＝ハウスドルフ距離と整合性を保つ。
• UCP_q-位相と距離 $ D_{L^{q}} $ を用いて、$ n $ が十分に大きいとき、$ UCP_q(A) $ と $ UCP_q(B^n) $ が $ D_{L_n^q} $-距離において $ \varepsilon $-近傍内にあることを示し、収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆元に対して不等式 $ L(a^{-1}) \leq \|a^{-1}\|^2 L(a) $ を満たし、かつ球面への量子グロモフ＝ハウスドルフ距離収束を保証するような、行列代数上の半ノルムを構成できるか？
• RQ2 両立状態とベレジン記号を用いて、2次元球面のような余随伴軌道の幾何を反映する半ノルムを、行列代数上でどのように定義できるか？
• RQ3 ノルム付き双加群への微分作用素に関するどのような条件が、強いライブニッツ性質を満たす半ノルムを誘導するか？
• RQ4 強いライブニッツ性質を持つ半ノルムを用いて、球面と行列代数との間の量子グロモフ＝ハウスドルフ距離を任意に小さくできるか。もし可能であれば、収束速度はどの程度か？
• RQ5 構成された半ノルムの下で、行列代数と球面上の $ UCP_q $-位相はどのように関係するか。また、これは状態の収束にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ N \in \mathbb{Z}_{>0} $ が存在し、すべての $ n \geq N $ に対して、球面 $ A = C(G/H) $ と行列代数 $ B^n = \mathcal{L}(\mathcal{H}^n) $ の間の量子グロモフ＝ハウスドルフ距離が $ \varepsilon $ 以下になる。ここで、半ノルム $ L_A $ と $ L_{B^n} $ は、$ A \oplus B^n $ 上の強いライブニッツ半ノルム $ L_n $ に拡張される。
• $ L_n $ の構成は、特に2次元球面のような余随伴軌道に対して、コンパクトな単純なリー群の既約表現に関連する両立状態とベレジン記号に依存している。
• 半ノルム $ L_n $ は強いライブニッツ性質を満たしており、特に可逆元に対して重要な不等式 $ L(a^{-1}) \leq \|a^{-1}\|^2 L(a) $ も満たしている。この不等式は、文献においてはあまり議論されない。
• $ A \oplus B^n $ 上の $ UCP_q $-位相は、半ノルム $ L_n^q $ によって誘導され、十分に大きな $ n $ に対して $ UCP_q(A) $ と $ UCP_q(B^n) $ が互いに $ \varepsilon $-近傍内にある。近傍の大きさは $ \gamma_n = \gamma_n^A \vee q\gamma_n^B $ によって制御される。
• 収束速度は $ \gamma_n \to 0 $ となることから、固定された $ q $ に対して $ q\gamma_n \to 0 $ となる。これにより、$ UCP_q $-位相における収束が保証される。
• 結果として、非可換幾何学および高エネルギー物理学の文脈において、球面上のモノポール bundle が行列代数上のベクトル bundle から生じることを、厳密に裏付ける基盤が得られた。