[論文レビュー] Leibniz superalgebras and central extensions

Dong Liu, Naihong Hu|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、dialgebras と Leibniz algebras の $Χ_2$-graded な類似物として super dialgebras と Leibniz superalgebras を導入し、unitary commutative dialgebras とテンソル積をとった基本的古典的 Lie superalgebras に対して普遍中心拡張 (UCE) を確立する。主な結果として、Leibniz superalgebras 圏における ${} \mathfrak{g} \otimes D$ の UCE が $\tilde{\mathfrak{g}} = \bar{\mathfrak{g}} \otimes D \oplus \Omega_D^1$ であることが示され、ここで $\Omega_D^1$ は Kähler 微分形式のモジュールであり、Lie superalgebra 理論における既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

Dialgebras are generalizations of associative algebras which give rise to Leibniz algebras instead of Lie algebras. In this paper we study super dialgebras and Leibniz superalgebras, which are $\z_2$-graded dialgebras and Leibniz algebras. We also study universal central extesions of Leibniz superalgebras and obtain some results as in the case of Lie superalgebras. We determine universal central extensions of basic classical Lie superalgebras in the category of Leibniz superalgebras. They play a key role in studying Leibniz superalgebras graded by finite root systems.

研究の動機と目的

• Lie superalgebras の普遍中心拡張理論を Leibniz superalgebras に拡張すること。
• dialgebras と Leibniz algebras の $Χ_2$-graded 一般化として super dialgebras と Leibniz superalgebras を定義すること。
• ${\bf\mathfrak{g}} \otimes D$ の普遍中心拡張の構造を特定すること。ここで ${\bf\mathfrak{g}}$ は基本的古典的単純 Lie superalgebra であり、$D$ は unitary commutative dialgebra である。
• Leibniz superalgebra のコホモロジーと Kähler 微分形式、特に $\Omega_D^1$ 間の関係を確立すること。
• 有限ルート系によるグレーディングを持つ Leibniz superalgebras を研究するための基礎的道具を提供すること。

提案手法

• 左積と右積が両立する $Χ_2$-graded dialgebras として super dialgebras を定義し、dialgebra の公理を満たすようにする。
• 同次元要素に対して Leibniz 恒等式 $[[x,y],z] = [[x,z],y] + [x,[y,z]]$ を満たす $Χ_2$-graded 代数として Leibniz superalgebras を導入する。
• ${\bf\mathfrak{g}} \otimes D$ の普遍中心拡張 $\tilde{\mathfrak{g}}$ を $\bar{\mathfrak{g}} \otimes D \oplus \Omega_D^1$ として構成する。ここで $\Omega_D^1$ は $D$ 上の Kähler 微分形式のモジュールである。
• Leibniz superalgebras のコホモロジー枠組みと Connes 演算子を用いて、拡張代数の導分と自己同型を分析する。
• [IK] および [HL] の結果を適用し、UCE の核が $D$ の代数的構造に応じて $\Omega_D^1$ または $HHL_1(D)$ に一致することを示す。
• 特に、非タイプ $A(n,n)$ の場合に $HL^2({\bf\mathfrak{g}} \otimes D) \cong \Omega_D^1$ が成り立つことを示し、コホモロジー群と微分モジュールの同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本的古典的 Lie superalgebra と unitary commutative dialgebra のテンソル積の、Leibniz superalgebras 圏における普遍中心拡張の構造は何か？
• RQ2 ${\bf\mathfrak{g}} \otimes D$ の普遍中心拡張の核は、Kähler 微分形式のモジュール $\Omega_D^1$ とどのように関係するか？
• RQ3 super dialgebras と Leibniz superalgebras は、dialgebras と Leibniz algebras の理論をグレーディングされたスーパーセットにどのように一般化するか？
• RQ4 普遍中心拡張 $\tilde{\mathfrak{g}}$ の導分代数と自己同型群は、元の代数と dialgebra $D$ の観点からどのように分解されるか？
• RQ5 異なるタイプの基本的古典的 Lie superalgebras に対して、コホモロジー $HL^2({\bf\mathfrak{g}} \otimes D)$ と微分モジュール $\Omega_D^1$ の関係は何か？

主な発見

• ${\bf\mathfrak{g}} \otimes D$ の Leibniz superalgebras 圏における普遍中心拡張は $\tilde{\mathfrak{g}} = \bar{\mathfrak{g}} \otimes D \oplus \Omega_D^1$ である。ここで $\Omega_D^1$ は unitary commutative dialgebra $D$ 上の Kähler 微分形式のモジュールである。
• タイプ $A(n,n)$ でない基本的古典的 Lie superalgebras に対して、第二コホモロジー群は $HL^2({\bf\mathfrak{g}} \otimes D) \cong \Omega_D^1$ を満たし、UCE の核が $\Omega_D^1$ に同型であることを確認する。
• タイプ $A(n,n)$ で $n > 1$ の場合、第二コホモロジー群は $HL^2({\bf\mathfrak{g}} \otimes D) \cong \Omega_D^1 \oplus D$ であり、非タイプ $A(n,n)$ の場合より大きな核を持つことが示される。
• タイプ $A(1,1)$ の場合、コホモロジーは $HL^2({\bf\mathfrak{g}} \otimes D) \cong \Omega_D^1 \oplus D^{\oplus 3}$ であり、顕著に複雑な構造を持つことが示される。
• $\tilde{\mathfrak{g}}$ の導分代数は $\hbox{Der}(A) \ltimes \hbox{Inn}({\bf\mathfrak{g}})$ に一致する。ここで $\hbox{Der}(A) = \sum_{i=1}^\nu A \frac{\partial}{\partial t_i}$ であり、これはベース代数 $A$ の導分構造を反映している。
• $\tilde{\mathfrak{g}}$ の自己同型群は $\hbox{Aut}({\bf\mathfrak{g}} \otimes D)$ に同型であり、元の Lie superalgebra と dialgebra のテンソル積構造を保存する。