[論文レビュー] Lemniscate Convexity and Other Properties of Generalized Bessel Functions

Vibha Madaan, Ajay Kumar+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2019

Analytic and geometric function theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、微分劣分数を用いて一般化および正規化されたベッセル関数のリーマン数凸性およびその他の幾何的性質を調査する。関数 $u_{p,b,c}(z)$ が $\sqrt{1+z}$ に劣分数となるようなパラメータ $p$, $b$, $c$ に対する十分条件を確立し、リーマン数凸性または星型凸性を示し、正規化されたロムエル関数 $h_{\mu,p}(z)$ についても同様の結果を導出し、アレクサンダー変換の性質を含む。

ABSTRACT

Sufficient conditions on associated parameters $p,b$ and $c$ are obtained so that the generalized and extquotedblleft{normalized} extquotedblright{} Bessel function $u_p(z)=u_{p,b,c}(z)$ satisfies $|(1+(zu''_p(z)/u'_p(z)))^2-1|<1$ or $|((zu_p(z))'/u_p(z))^2-1|<1$. We also determine the condition on these parameters so that $-(4(p+(b+1)/2)/c)u'_p(z)\prec\sqrt{1+z}$. Relations between the parameters $μ$ and $p$ are obtained such that the normalized Lommel function of first kind $h_{μ,p}(z)$ satisfies the subordination $1+(zh''_{μ,p}(z)/h'_{μ,p}(z))\prec\sqrt{1+z}$. Moreover, the properties of Alexander transform of the function $h_{μ,p}(z) $ are discussed.

研究の動機と目的

• パラメータ $p$, $b$, $c$ に対して、一般化および正規化されたベッセル関数 $u_{p,b,c}(z)$ がリーマン数凸またはリーマン数星型であるための十分条件を特定すること。
• $-(4(p+(b+1)/2)/c)u'_{p}(z) \prec \sqrt{1+z}$ に対する劣分数条件を確立すること。
• 正規化されたロムエル関数 $h_{\mu,p}(z)$ の幾何的性質を分析し、特に $\sqrt{1+z}$ への劣分数性を調べること。
• アレクサンダー変換 $h_{\mu,p}(z)$ を調査し、幾何的関数クラスに与える影響を明らかにすること。

提案手法

• 研究は、特にミラーとモカヌの方法を用いる微分劣分数理論を採用し、単位円板内における正則関数の劣分数条件を分析する。
• 一般化されたベッセル関数 $u_{p,b,c}(z)$ は、ポッヒハマー記号を含む超幾何型級数によって定義され、整関数であることが示される。
• 関数 $u_{p,b,c}(z)$ および $h_{\mu,p}(z)$ に対して、関数的不等式を用いて劣分数を確立するために、重要な微分方程式が導出される。
• 証明は、補助関数 $p(z)$ を構成し、Lemma 3.1 を適用して、与えられたパラメータ制約下で複素関数 $\psi(r,s,t;z)$ がゼロでないことを確認することに依存する。
• 単位円板内における $\theta$, $m$, $z$ を含む複素式の実部および絶対値を評価し、$\psi \neq 0$ を保証することで劣分数を確認する。
• パラメータ制約は、角および絶対値の制約下で、複素式の実部がゼロから離れていることを保証することで導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $p$, $b$, $c$ がどのような条件下で、一般化されたベッセル関数 $u_{p,b,c}(z)$ がリーマン数凸となるか。
• RQ2 $-(4(p+(b+1)/2)/c)u'_{p}(z)$ が $\sqrt{1+z}$ に劣分数となるのはいつか。
• RQ3 どの $\mu$ および $p$ に対して、正規化されたロムエル関数 $h_{\mu,p}(z)$ が $1 + (zh''_{\mu,p}(z)/h'_{\mu,p}(z)) \prec \sqrt{1+z}$ を満たすか。
• RQ4 アレクサンダー変換 $h_{\mu,p}(z)$ はどのような幾何的性質を示すか。

主な発見

• 関数 $u_p(z)$ がリーマン数凸性を有するために、$|(1 + zu''_p(z)/u'_p(z))^2 - 1| < 1$ を満たすような $p$, $b$, $c$ に対する十分条件が導出された。
• パラメータ $p$, $b$, $c$ が特定の不等式を満たすとき、$-(4(p+(b+1)/2)/c)u'_p(z) \prec \sqrt{1+z}$ が成立する。
• 正規化されたロムエル関数 $h_{\mu,p}(z)$ に対しては、$\operatorname{Re} \mu > -1$ かつ $p$ が $\frac{3\operatorname{Re} \mu}{2\sqrt{2}} - \sqrt{3}\left|\frac{(\mu+1)^2 - p^2}{4} - 2\mu - 2\right| > \frac{13\sqrt{3}}{4} - \frac{15}{8\sqrt{2}} + \frac{1}{4}$ を満たす場合、条件 $1 + (zh''_{\mu,p}(z)/h'_{\mu,p}(z)) \prec \sqrt{1+z}$ が満たされる。
• 導出されたパラメータ制約下で、$h_{\mu,p}(z)$ のアレクサンダー変換は $\sqrt{1+z}$ への劣分数性を保つことが示された。
• $u_p(z)$ は整関数であり、微分方程式 $4z^2 u''_p(z) + 4\kappa z u'_p(z) + c z u_p(z) = 0$ を満たす。ここで $\kappa = p + (b+1)/2$ である。