[論文レビュー] Lempel-Ziv Factorization May Be Harder Than Computing All Runs

Dmitry Kosolobov|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Algorithms and Data Compression参考文献 3被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、決定木モデルにおいて、Lempel-Ziv分解を計算するにはΩ(n log σ)回の比較が必要であることを証明しており、すべてのランを計算するのとは根本的に難しいことを示している。一方、著者らはすべてのランを求めるO(n)の決定木アルゴリズムを提示しており、このモデルにおいてランの問題がLempel-Ziv分解よりも厳密に簡単であることを示しており、ランの線形時間RAMアルゴリズムの存在を支持する。

ABSTRACT

The complexity of computing the Lempel-Ziv factorization and the set of all runs (= maximal repetitions) is studied in the decision tree model of computation over ordered alphabet. It is known that both these problems can be solved by RAM algorithms in $O(n\logσ)$ time, where $n$ is the length of the input string and $σ$ is the number of distinct letters in it. We prove an $Ω(n\logσ)$ lower bound on the number of comparisons required to construct the Lempel-Ziv factorization and thereby conclude that a popular technique of computation of runs using the Lempel-Ziv factorization cannot achieve an $o(n\logσ)$ time bound. In contrast with this, we exhibit an $O(n)$ decision tree algorithm finding all runs in a string. Therefore, in the decision tree model the runs problem is easier than the Lempel-Ziv factorization. Thus we support the conjecture that there is a linear RAM algorithm finding all runs.

研究の動機と目的

• 決定木モデルにおいてLempel-Ziv分解を計算する際の計算量の下界を確立すること。
• 文字列におけるすべてのランを計算することは、Lempel-Ziv分解を計算することと同等の難易度であるかどうかを調査すること。
• すべてのランを求める線形時間の決定木アルゴリズムを提示し、ランはLempel-Ziv分解よりもより効率的に計算できることを示すこと。
• 一般の順序付きアルファベット上でのすべてのランを計算する線形時間RAMアルゴリズムが存在するという予想を支持すること。

提案手法

• 決定木モデルにおいてLempel-Ziv分解を計算するために必要な比較回数にΩ(n log σ)の下界を証明する。
• 立方ランと周期的部分文字列を再帰的に処理することで、O(n)回の比較ですべてのランを特定する決定木アルゴリズムを設計する。
• 最小周期と周期性に基づく再帰的分解を用いて、重複する比較を回避する。
• 組合せ的補題を適用して、再帰的呼び出しの総数を抑え、比較回数が線形に保たれることを保証する。
• 立方ランの指数の和を分析し、再帰的部分問題が十分に速く縮小されることを示す。
• 周期的構造と不等式比較を活用した分割統治戦略を用いて、最大反復部分文字列を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定木モデルにおいて、Lempel-Ziv分解はすべてのランを計算することよりも計算的に難しいか？
• RQ2 文字列に含まれるすべてのランを求めるO(n)の決定木アルゴリズムを構築できるか？
• RQ3 ランの線形時間決定木アルゴリズムの存在が、Lempel-Ziv分解が線形時間のラン計算の基盤として使えないことを示唆するか？
• RQ4 順序付きアルファベット上でのLempel-Ziv分解を計算するために必要な最小比較回数は何か？
• RQ5 決定木モデルは、ランとLempel-Ziv分解の間で計算量の差を明らかにできるか？

主な発見

• 決定木モデルにおいてLempel-Ziv分解にはΩ(n log σ)回の比較が必要であり、非自明な下界が証明された。
• すべてのランを計算するO(n)の決定木アルゴリズムが存在し、ランはLempel-Ziv分解よりもより効率的に求められることを示した。
• Lempel-Ziv分解に依存せず、不等式比較を用いて再帰的に立方ランと周期的部分文字列を処理することで、アルゴリズムは依存を回避した。
• 再帰的呼び出しにおける比較回数の合計はO(n/p)で抑えられ、全体として線形の複雑さが保証された。
• 最小周期がd以上のすべての立方ランの指数の和は12n/d未満であるため、再帰が効率的に動作する。
• この結果は、一般の順序付きアルファベット上でのすべてのランを計算する線形時間RAMアルゴリズムが存在するという予想を支持する。