[論文レビュー] Length and distance on a quantum space

Pierre Martinetti, Luca Tomassini|arXiv (Cornell University)|May 13, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 37被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非可換時空モデル、特にモアル平面において、コンヌーのスペクトル距離と量子長演算子を用いて、長さおよび距離の定義を調査する。非可換幾何学と量子時空の両者を統合する枠組みを確立し、調和振動子の固有状態およびコherent状態という量子状態間のスペクトル距離が一貫した計量構造を提供することを示す。一方、DFR や θ-ミンコフスキーなどのモデルにおける量子長とは区別される。

ABSTRACT

This contribution is an introduction to the metric aspect of noncommutative geometry, with emphasize on the Moyal plane. Starting by questioning "how to define a standard meter in a space whose coordinates no longer commute?", we list several recent results regarding Connes's spectral distance calculated between eigenstates of the quantum harmonic oscillator arXiv:0912.0906, as well as between coherent states arXiv:1110.6164. We also question the difference (which remains hidden in the commutative case) between the spectral distance and the notion of quantum length inherited from the length operator defined in various models of noncommutative space-time (DFR and θ-Minkowski). We recall that a standard procedure in noncommutative geometry, consisting in doubling the spectral triple, allows to fruitfully confront the spectral distance with the quantum length. Finally we refine the idea of discrete vs. continuous geodesics in the Moyal plane, introduced in arXiv:1106.0261.

研究の動機と目的

• 非可換時空において座標が可換でないという前提で、標準メートルの定義という基礎的問題に取り組む。
• 非可換幾何学における距離の概念と、DFR や θ-ミンコフスキーなどのモデルにおける量子力学的長さの概念を統合する。
• コンヌーの非可換幾何学から導かれるスペクトル距離と、演算子に基づくモデルから生じる量子長の違いを明確にする。
• スペクトル三重の二重化が、スペクトル距離と量子長の間で意味のある比較を可能にすることを示す。
• 量子状態幾何学を用いて、Moyal平面における測地線の離散的・連続的性質を精緻化する。

提案手法

• 主にコンヌーのスペクトル距離を計量ツールとして用い、Moyal平面における量子調和振動子の純粋状態（固有状態およびコherent状態）の間で計算する。
• スペクトル三重の二重化手順を適用し、非可換時空モデルにおけるスペクトル距離と量子長演算子を関連付ける。
• ポincare群および量子群の対称性の下での非可換座標の変換性を分析し、DFR や θ-ミンコフスキーのモデルにおける共変性を保証する。
• C*-代数の枠組みを用い、θ-ミンコフスキーでは $\mathbb{K}$ を、DFR モデルでは $\mathcal{E} = C_0(\Sigma, \mathbb{K})$ を用い、量子点を純粋状態として記述する。
• 独立した量子点間の可換子関係を一貫して保つために、中心 $C_0(\Sigma)$ 上のテンソル積を課すことで、非可換構造を維持する。
• アドジョイント作用を介して、非可換パラメータ $\theta_{\mu\nu}$ がポincare変換の下でどのように変換するかを導出し、プランクスケールの不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換時空において座標が可換でない場合に、標準メートルを一貫して定義することは可能か？
• RQ2 DFR や θ-ミンコフスキーなどのモデルにおいて、コンヌーのスペクトル距離と量子長演算子の関係は何か？
• RQ3 スペクトル三重の二重化が、スペクトル距離と量子長の間で意味のある比較を可能にする仕組みは何か？
• RQ4 Moyal平面において、測地線の性質は離散的か連続的か。この性質は計量構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 非可換時空モデルにおいて、ポincare変換の下でもプランク長が不変に保たれるか？

主な発見

• Moyal平面における量子調和振動子の固有状態間のスペクトル距離は、明確に定義されており、一貫した量子計量を提供する。
• Moyal平面におけるコherent状態間のスペクトル距離が計算され、非可換幾何の本質を反映していることが示された。
• スペクトル距離と量子長は異なる概念である。スペクトル距離はスペクトル三重から導かれるが、量子長は DFR や θ-ミンコフスキーのモデルにおける長さ演算子から生じる。
• スペクトル三重の二重化により、スペクトル距離と量子長の直接比較が可能となり、非可換時空において両者が等価でないことが明らかになった。
• DFR モデルにおいて、非可換パラメータ $\theta_{\mu\nu}$ はポincare群のアドジョイント作用の下で変換され、可換子関係のポincare共変性が保証された。
• Moyal平面、θ-ミンコフスキー、DFR などの量子空間モデルは、純粋状態が同じ $S \in \Sigma$ に制限される場合には、量子点のペアを定義する目的において等価である。これは $C_0(\Sigma)$-に基づくテンソル積構造による。