[論文レビュー] Length of separable states and symmetrical informationally complete (SIC) POVM

Lin Chen|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、対称的情報的に完全な正作用素値測定（SIC-POVM）の存在と分離可能な状態の最小長の間の深い関係を確立する。SIC-POVMが次元 $ d $ に存在することと、状態 $ \rho_2 = \frac{2}{d^2 + d} S_d $ の長さが $ d^2 $ に等しいという予想 $ L(\rho_2) = d^2 $ が同値であることを証明し、SIC-POVMの存在問題を分離可能状態の長さに関する予想に還元する。

ABSTRACT

This short note reviews the notion and fundamental properties of SIC-POVM and its connection with the length of separable states. We also review the t-design.

研究の動機と目的

• 分離可能状態の長さと対称的情報的に完全な正作用素値測定（SIC-POVM）の存在との関係を明確にすること。
• 状態 $ \rho_2 = \frac{2}{d^2 + d} S_d $ に対して予想 $ L(\rho_2) = d^2 $ が、次元 $ d $ にSIC-POVMが存在することと同値であることを示すこと。
• SIC-POVMの存在問題を分離可能状態の長さ問題として再定式化し、長年の未解決問題を解く新たな道筋を提示すること。
• SIC-POVMをt-デザイン、特にタイトな2-デザインと関連付け、それらの存在が $ \rho_2 $ に関する長さ予想と同値であることを示すこと。

提案手法

• SIC-POVMを、$ d^2 $ 個の部分正規化射影演算子 $ \Pi_j = \frac{1}{d} |\psi_j\rangle\langle\psi_j| $ として定義し、$ |\langle\psi_j|\psi_k\rangle|^2 = \frac{1 + d\delta_{jk}}{d+1} $ を満たすものとする。
• SIC-POVMの2-デザイン性を、恒等式 $ \sum_{i=1}^{d^2} |\psi_i\rangle\!\langle\psi_i|^{\otimes 2} = \frac{2d}{d+1} S_d $ を用いて適用する。ここで $ S_d $ は $ \mathbb{C}^d \otimes \mathbb{C}^d $ 上の対称化作用素である。
• 状態 $ \rho_2 = \frac{2}{d^2 + d} S_d $ を分析し、その部分転置が $ \rho_2^\Gamma = \frac{1}{d^2 + d}(I + |\Psi_d\rangle\!\langle\Psi_d|) $ であることを示す。ここで $ |\Psi_d\rangle = \sum_{i=1}^d |ii\rangle $ である。
• 長さについて $ L(\rho_2) \geq \max\{ r(\rho_2), r(\rho_2^\Gamma) \} = d^2 $ を確立し、等号が成り立つのは次元 $ d $ にSIC-POVMが存在するときであることを示す。
• t-デザインとの関係を提示し、タイトな2-デザインが存在するのは $ L(\rho_2) = d^2 $ のときであり、これはSIC-POVMの存在と同値であることを示す。
• 既知のt-デザインに関する結果を用いて、$ d = 2, \dots, 16, 19, 24, 28, 31, 35, 37, 43, 48 $ においてタイトな2-デザインが存在することを示し、既知のSIC-POVM構成と整合的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ d \geq 2 $ に対して、$ \rho_2 = \frac{2}{d^2 + d} S_d $ に対して予想 $ L(\rho_2) = d^2 $ は常に成り立つか？
• RQ2 次元 $ d $ にSIC-POVMが存在することは、$ \rho_2 $ の長さが正確に $ d^2 $ に等しいことを示唆するか？
• RQ3 次元 $ d $ にタイトな2-デザインが存在することは、その次元にSIC-POVMが存在することと同値か？
• RQ4 SIC-POVMの存在問題は、状態 $ \rho_2 $ に対する分離可能状態の長さに関する予想に還元可能か？
• RQ5 SIC-POVMが存在しない可能性がある次元 $ d $ に対して、$ L(\rho_2) > d^2 $ となるものがあるか？

主な発見

• 状態 $ \rho_2 = \frac{2}{d^2 + d} S_d $ は分離可能であり、二重ランク $ \left(\frac{d^2 + d}{2}, d^2\right) $ を持つため、$ L(\rho_2) \geq d^2 $ である。
• 次元 $ d = 2 $ では、長さ $ L(\rho_2) = d^2 $ が成り立ち、これは次元2における既知の解析的SIC-POVMと整合的である。
• SIC-POVMが既知に存在するすべての $ d \in \{2, \dots, 16, 19, 24, 28, 31, 35, 37, 43, 48\} $ に対して、予想 $ L(\rho_2) = d^2 $ が成り立つ。
• 予想 $ L(\rho_2) = d^2 $ は、次元 $ d $ にSIC-POVMが存在することと同値であるため、肯定的解答が得られればSIC-POVMの存在問題が解決される。
• タイトな2-デザインが次元 $ d $ に存在することは $ L(\rho_2) = d^2 $ と同値であり、したがってSIC-POVMの存在とも同値である。
• 本稿は、すべての $ d \geq 2 $ に対して $ L(\rho_2) = d^2 $ が成り立つ、あるいはある $ d $ に対して $ L(\rho_2) > d^2 $ となる可能性があることを示し、後者はその次元にSIC-POVMが存在しないことを示唆する。