[論文レビュー] Length structures on manifolds with continuous Riemannian metrics

Annegret Burtscher|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、連続リーマン計量を備えた多様体上で、絶対連続曲線の弧長が、リーマン距離から誘導される距離長と一致することを確立している。滑らかな計量の近似と、距離的・解析的微分の収束を用いることで、滑らかさがなくても標準的な長さ構造が成立することを証明し、低正則性リーマン幾何における重要な空白を埋めている。

ABSTRACT

It is well-known that the class of piecewise smooth curves together with a smooth Riemannian metric induces a metric space structure on a manifold. However, little is known about the minimal regularity needed to analyze curves and particularly to study length-minimizing curves where neither classical techniques such as a differentiable exponential map etc. are available nor (generalized) curvature bounds are imposed. In this paper we advance low-regularity Riemannian geometry by investigating general length structures on manifolds that are equipped with Riemannian metrics of low regularity. We generalize the length structure by proving that the class of absolutely continuous curves induces the standard metric space structure. The main result states that the arc-length of absolutely continuous curves is the same as the length induced by the metric. For the proof we use techniques from the analysis of metric spaces and employ specific smooth approximations of continuous Riemannian metrics. We thus show that when dealing with lengths of curves, the metric approach for low-regularity Riemannnian manifolds is still compatible with standard definitions and can successfully fill in for lack of differentiability.

研究の動機と目的

• 曲線長の定義が距離空間構造によって一貫して可能となるための、リーマン計量の最小正則性を特定すること。
• 低正則性設定（例：$C^0$ 計量）において、指数写像のような古典的道具が機能しないことに対処すること。
• 滑らかさが $C^{1,1}$ でない状況下でも、絶対連続曲線のクラスが、区分的滑らか曲線と同一の長さ構造を誘導することを示すこと。
• 連続計量を持つ $C^0$ リーマン多様体上での絶対連続パスに対して、メトリック微分と解析的微分の等価性を確立すること。
• このような多様体上での標準的な弧長関数が、距離誘導長関数と一致することを示すこと。

提案手法

• 局所的な $C^0$-近似とパーティション・オブ・ユニティ技術を用いて、連続リーマン計量 $g$ の滑らかな近似 $g_n$ を構成すること。
• 各 $g_n$ に付随する距離関数 $d_n$ が、元の計量 $g$ によって誘導される距離 $d$ に一様収束することを証明すること。
• $g_n$ が $g$ に収束することと、滑らかな計量における $|\dot{\gamma}|_n = \|\gamma'\|_{g_n}$ の等価性を用いて、極限に渡る操作を行うこと。
• ファトウの補題とメトリック微分の定義を適用し、$ \gamma \in \mathcal{A}_{ \mathrm{ac}}$ に対して $L_d(\gamma) = \int_I |\dot{\gamma}|(t)\,dt$ を示すこと。
• 滑らかな近似におけるメトリック微分の収束を用いて、ほとんど everywhere で $|\dot{\gamma}|(t) = \|\gamma'(t)\|_g$ が成り立つことを確立すること。
• 絶対連続パス上の変分位相を活用し、区分的滑らか曲線が $\mathcal{A}_{ \mathrm{ac}}$ において稠密であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量が滑らかではなく連続である場合に、リーマン多様体上の標準的長さ構造が維持可能か。
• RQ2 $C^0$ 計量設定下で、絶対連続曲線の弧長がリーマン距離から誘導される距離長と等価か。
• RQ3 計量が連続である場合に、絶対連続曲線のメトリック微分が、その解析的微分のノルムと一致するか。
• RQ4 連続リーマン計量の滑らかな近似を用いて、長さの等価性のような古典的幾何的性質を回復できるか。
• RQ5 曲線の長さ最小化理論が一貫して成立するための、リーマン計量の最小正則性は何か。

主な発見

• 連続リーマン計量を備えた多様体上でのすべての絶対連続曲線 $\gamma$ に対して、弧長 $L(\gamma)$ と距離誘導長 $L_d(\gamma)$ が一致する。
• このような多様体上では、メトリック微分 $|\dot{\gamma}|(t)$ がほとんど everywhere で解析的微分のノルム $\|\gamma'(t)\|_g$ と一致する。
• 連続計量 $g$ の滑らかな近似 $g_n$ が、元の距離 $d$ に一様収束する距離関数 $d_n$ を誘導する。
• 滑らかさが $C^{1,1}$ でない状況下でも、絶対連続曲線のクラスが、区分的滑らか曲線と同一の長さ構造を誘導する。
• すべての $\gamma \in \mathcal{A}_{ \mathrm{ac}}$ に対して、$L = L_d = \widetilde{L}$ が成り立つ。ここで $\widetilde{L}(\gamma) = \int_I |\dot{\gamma}|(t)\,dt$ である。
• 変分位相によって $\mathcal{A}_{ \mathrm{ac}}$ 上での区分的滑らか曲線の稠密部分集合が、全長さ構造を決定するのに十分である。