[論文レビュー] Lens rigidity for manifolds with hyperbolic trapped set

Colin Guillarmou|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 56被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、双曲的捕捉集合と共役点のないリーマン多様体における変形レンズ剛性を確立し、特に境界が厳密に凸である負曲率多様体（非自明な位相と捕捉測地線を含む）を含む。次元2では、境界を固定する微分同相写像による共形構造が散乱データによって決定されることを示し、単純多様体の枠組みを超えた剛性結果を、高度な微局所解析および力学系の技法を用いて拡張する。

ABSTRACT

For a Riemannian manifold $(M,g)$ with strictly convex boundary $\partial M$, the lens data consists in the set of lengths of geodesics $γ$ with endpoints on $\partial M$, together with their endpoints $(x_-,x_+)\in \partial M imes \partial M$ and tangent exit vectors $(v_-,v_+)\in T_{x_-} M imes T_{x_+} M$. We show deformation lens rigidity for a large class of manifolds which includes all manifolds with negative curvature and strictly convex boundary, possibly with non-trivial topology and trapped geodesics. For the same class of manifolds in dimension $2$, we prove that the set of endpoints and exit vectors of geodesics (ie. the scattering data) determines the topology and the conformal class of the surface.

研究の動機と目的

• 双曲的捕捉集合と共役点のない多様体、特に境界が厳密に凸であるすべての負曲率多様体を含むクラスについて、変形レンズ剛性問題を解決すること。
• 単純多様体や非捕捉多様体に制限されていた従来の研究の限界を克服し、非自明な位相と捕捉測地線をもつ多様体へとレンズおよび散乱剛性結果を拡張すること。
• 次元2において、散乱データが境界を固定する微分同相写像によるリーマン面の共形構造を決定することを示すこと。
• ハイパボリック力学系から得られる新しい微局所解析的手法を体系的に開発・応用し、幾何解析における逆問題を解くこと。
• 捕捉と非自明な位相を組み込むことによって、境界およびレンズ剛性結果を単純多様体の設定を超えて一般化すること。

提案手法

• 本稿は1パラメータ族の計量を用い、微局所解析による測地線フローを用いて、レンズ同値性が境界上で恒等写像にホモトープな微分同相写像族の存在を示す。
• 散乱変換および散乱作用素 $ S_g^* $ の画期的な応用を導入し、境界データと球面バンドル上の輸送方程式の解との関係を確立する。
• 球面バンドル上のフーリエ変換理論および水平微分の偶関数部を符号化する作用素 $ H_{\text{ev}} $ の使用に依拠する。
• 有界性および強退化性の性質を活用して、境界データと境界上の $ L^2 $-関数との関係を $ I $-変換および $ I_1 $-変換を用いて確立する。
• 波面集合の解析および特異点の伝播を用いて、散乱同値性のもとで $ (M,g) $ および $ (M',g') $ の正則関数の境界値が一致することを示す。
• ベルィシュェフの結果を用いて、正則拡張と散乱データとの対応関係を確立し、次元2における共形微分同相写像の存在を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な位相と捕捉測地線をもつ負曲率多様体について、単純多様体のクラスを超えてレンズ剛性を確立できるか？
• RQ2 次元2において、散乱データが境界を固定する微分同相写像によるリーマン面の共形構造を決定するか？
• RQ3 捕捉を伴う幾何解析における逆問題を解くために、微局所および力学系技法をどのように体系的に応用できるか？
• RQ4 共役点がなく、捕捉が存在する場合、レンズデータが等長写像を除いて計量をどの程度まで決定するか？
• RQ5 二つの多様体の正則関数の境界値が、散乱データが一致する場合に一致するか？

主な発見

• すべての $ n $-次元リーマン多様体について、双曲的捕捉集合、共役点なし、境界が厳密に凸である場合に変形レンズ剛性が成立し、これはすべての負曲率多様体を含む。
• 次元2では、散乱同値性が境界を固定し境界計量を保つ微分同相写像による共形同値性を意味する。
• 散乱データが一致する場合、$ (M,g) $ および $ (M',g') $ の正則関数の境界値の空間が一致し、ベルィシュェフの結果により共形同値性が導かれる。
• 証明は $ I_1 $-変換の有界性および波面集合の伝播を用い、$ I_1(*dI_0^*\rho + dq) = 0 $ を示し、調和共役関数を導く。
• 本稿は、$ (S_g^* - \text{id})H_{\text{ev}}\rho \in L^2 $ かつ $ \frac{1}{2\tau} I_1(*d{\rm d}\rho) $ に等しいことを確立し、境界データと計量構造との関係を結ぶ。
• 次元2において散乱同値性のもとで、境界上での恒等写像を満たす共形微分同相写像 $ \theta: M \to M' $ が $ \theta^*g' = e^{2\theta}g $ を満たすことが証明された。