[論文レビュー] Leray--Hopf solutions to a viscoelastic fluid model with nonsmooth stress-strain relation

Thomas Eiter, Katharina Hopf+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、非滑らかな応力-ひずみ関係と応力拡散を有する、粘弾性・粘塑性流体モデルに対する時間全域で有効な弱解の存在を、応力輸送にZaremba-Jaumann微分を用い、非線形で非滑らかな散逸則と応力拡散を組み合わせることで確立する。主な貢献は、一般境界条件下でエネルギー安定な解の厳密な証明である。

ABSTRACT

We consider a fluid model including viscoelastic and viscoplastic effects. The state is given by the fluid velocity and an internal stress tensor that is transported along the flow with the Zaremba--Jaumann derivative. Moreover, the stress tensor obeys a nonlinear and nonsmooth dissipation law as well as stress diffusion. We prove the existence of global-in-time weak solutions satisfying an energy inequality under general Dirichlet conditions for the velocity field and Neumann conditions for the stress tensor.

研究の動機と目的

• 非線形で非滑らかな応力-ひずみ関係を用いて、粘弾性と粘塑性効果を併せ持つ複雑な流体挙動をモデル化すること。
• 物理的整合性を確保するため、応力テンソルの輸送をZaremba-Jaumann微分で記述し、応力拡散を組み込むこと。
• 一般境界条件下で、エネルギー不等式を満たす時間全域弱解の存在を確立すること。
• 現実の流体モデルに現れる非滑らかな散逸則を扱い、既存の存在理論を拡張すること。
• 現実的な境界条件下で、複雑で非滑らかな流れの性質を示す流体のための数学的枠組みを提供すること。

提案手法

• 速度と応力テンソルを状態変数とする流体モデルを定式化し、運動量の保存則と応力の輸送方程式に従う。
• 応力テンソルの材料微分を記述するためにZaremba-Jaumann微分を用い、応力の進化における客観性を保証する。
• 古典的ニュートン流体や滑らかな粘塑性モデルを超える複雑な流体挙動をモデル化するため、応力テンソルに非線形で非滑らかな散逸則を導入する。
• 応力場の正則化と数学的取り扱いの容易さを高めるために、応力拡散項を導入する。
• 変分法と弱形式を用いて、Sobolev型関数空間枠組み内で解を導出する。
• エネルギー推定とコンパクト性の議論を用いて、エネルギー不等式を満たす時間全域弱解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非滑らかな応力-ひずみ関係を有する粘弾性流体モデルに対して、時間全域で有効な弱解を確立できるか？
• RQ2 応力拡散とZaremba-Jaumann微分の導入が、モデルの数学的構造と可解性に与える影響は何か？
• RQ3 このクラスの流体モデルにおいて、エネルギー有界な解の存在に許容される境界条件は何か？
• RQ4 非線形的かつ非滑らかな散逸則は、現実世界の粘塑性流体に見られるものと一致する理論的枠組みに組み込めるか？
• RQ5 応力テンソルの輸送と拡散が、弱解の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 非滑らかな応力-ひずみ関係と応力拡散を有する粘弾性流体モデルに対して、一般のDirichletおよびNeumann境界条件下で時間全域弱解が存在する。
• 解はエネルギー不等式を満たし、時間経過に伴う物理的整合性と安定性が保証される。
• 非滑らかな散逸則は、劣微分計算を用いて数学的に取り扱われ、Lipschitzでない応力応答に対応可能である。
• 応力拡散項は応力テンソルの正則性に寄与し、存在証明におけるコンパクト性の議論を支援する。
• Zaremba-Jaumann微分の使用により、応力の進化における客観性が保証され、連続体力学的モデル化において不可欠である。
• 本分析により、複雑で非滑らかな流れの性質を示す流体モデルに対する弱解理論が拡張され、文献における空白が埋められた。