[論文レビュー] Les algebres de Hopf des arbres enracines decores

Loïc Foissy|ArXiv.org|May 25, 2001

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、以前の可換な構成を一般化する、装飾付き根付き木の非可換かつ非ココクリアなホップ代数を導入する。非退化なホップ双対性を確立し、その双対性の組合せ的解釈を提供し、原始的元の代数が自由に生成されることを証明することで、平面2分木のホップ代数と同型であることを示す。構成により、有限または可算な装飾集合を備えたすべてのこのようなホップ代数は、装飾集合の濃度が同一である場合に限り、順位付きホップ代数として同型であることが明らかになる。

ABSTRACT

In \cite{Kreimer1,Connes,Broadhurst,Kreimer2}, a commutative, non cocommutative Hopf algebra H_R of (decorated) rooted trees was introduced. It is related to the Hopf algebra H_CM introduced in \cite{Moscovici}. Its dual Hopf algebra is the enveloping algebra of the Lie algebra of rooted trees L^1. In this paper, we introduce a non commutative, non cocommutative Hopf algebra H_PR of decorated planar rooted trees. We first show that H_PR is self dual. We then use this result to construct a non degenerate bilinear form (,) on H_PR, which respects the Hopf algebra structure of H_PR. Moreover, we give a combinatorial expression for the bilinear form (,). This allows us to give a direct formula for a basis of the primitive elements of H_PR. In the next sections, we show that H_PR is isomorphic to the Hopf algebra of planar binary trees introduced in \cite{Frabetti, Brouder}, and construct a subalgebra of formal non commutative diffeomorphisms. We then classify the Hopf algebra endomorphisms and coalgebra endomorphisms of H_PR. In the last sections, we give results about tensorial coalgebras and apply them to H_PR and H_R. We show how to construct the primitive elements of H_R from the primitive elements of H_PR and finally prove that L^1 is a free Lie algebra.

研究の動機と目的

• 根付き木の可換ホップ代数を装飾を導入することで、非可換かつ非ココクリアな設定に一般化すること。
• 装飾付き根付き木の代数上に非退化なホップ双対性を構成すること。
• 双対性の組合せ的解釈を提供し、原始的元の明示的表現を導出すること。
• 装飾付き根付き木のホップ代数が平面2分木のホップ代数と同型であることを証明すること。
• 有限または可算な装飾集合を備えた2つのホップ代数が、順位付きホップ代数として同型であるための条件を特定すること。

提案手法

• 可換な場合を一般化する新しい装飾付き根付き木のホップ代数 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ を導入する。
• 代数 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ 上で非退化なホップ双対性 $(\cdot,\cdot)$ を構成するために、$({\cal H}^\mathcal{D}_{P,R})^{*g}$ を用いる。
• 森の基底に対応する双対基底 $\{e_F\}$ を定義し、コプロダクトの計算および原始的元の同定を簡略化する。
• テンソル余代数に関する結果を適用して、$\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ がその原始的元のテンソル代数と同型であることを示す。
• ホッフ・コホモロジーにおける普遍性を用いて代数構造を特徴付ける。
• アーベル化および直交補空間の構造を用いて、原始的元の代数がリー代数として自由に生成されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換な根付き木のホップ代数を、装飾を導入することで非可換かつ非ココクリアな設定にどのように一般化できるか？
• RQ2 装飾付き根付き木の代数上での非退化なホップ双対性の構造は何か？ そして、その組合せ的解釈はどのように得られるか？
• RQ3 新しいホップ代数の原始的元は、木の組合せ的構造を用いて明示的に記述可能か？
• RQ4 装飾付き根付き木のホップ代数は、平面2分木のホップ代数と同型か？
• RQ5 異なる装飾集合を備えた2つのホップ代数が同型であるための条件は何か？

主な発見

• ホップ代数 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ は、原始的元のテンソル代数と元の代数との同型により、平面2分木のホップ代数と同型であることが示された。
• 双対順位代数 $({\cal H}^\mathcal{D}_{P,R})^{*g}$ は $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ と同型であり、これにより非退化なホップ双対性が可能になった。
• ホップ代数 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ の原始的元は、アーベル化および直交補空間の構造を用いた議論により、リー代数として自由に生成されていることが示された。
• 次数 $n$ における双対性を表す行列 $A'_n$ は逆行列をもち、$P'_n = (A'_n)^{-1}$ である。次数 4 までで明示的な逆行列が計算された。
• 次数 $n=1$ から $n=4$ まで、行列 $A'_n$ と $P'_n$ が明示的に計算され、双対性の構造が明らかになり、逆基底を用いた原始的元の同定が可能になった。
• 有限または可算な装飾集合を備えたすべての装飾付き根付き木のホップ代数は、装飾集合の濃度が同一である場合に限り、順位付きホップ代数として同型である。