[論文レビュー] Lessons for Loop Quantum Gravity from Parametrised Field Theory

Thomas Thiemann|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2010

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、完全で異常なしの量子制約解と物理的内積が構成された、パラメータ化された場の理論（PFT）からの教訓を借りて、ループ量子重力（LQG）における超曲面変形代数の量子化を調査する。正則化と逆体積演算子の技術を拡張することで、ハミルトニアン制約をソフト異常を伴う形で量子化でき、代数的構造を保存し、量子化のあいまいさが減少したフル LQG における異常なしの力学への道筋を提供する。

ABSTRACT

In a series of seminal papers, Laddha and Varadarajan have developed in depth the quantisation of Parametrised Field Theory (PFT) in the kind of discontinuous representations that are employed in Loop Quantum Gravity (LQG). In one spatial dimension (circle) PFT is very similar to the closed bosonic string and the constraint algebra is isomorphic to two mutually commuting Witt algebras. Its quantisation is therefore straightforward in LQG like representations which by design lead to non anomalous, unitary, albeit discontinuous representations of the spatial diffeomorphism group. In particular, the complete set of (distributional) solutions to the quantum constraints, a preferred and complete algebra of Dirac observables and the associated physical inner product has been constructed. On the other hand, the two copies of Witt algebras are classically isomorphic to the Dirac or hypersurface deformation algebra of General Relativity (although without structure functions). The question we address in this paper, also raised by Laddha and Varadarajan in their paper, is whether we can quantise the Dirac algebra in such a way that its space of distributional solutions coincides with the one just described. This potentially teaches us something about LQG where a classically equivalent formulation of the Dirac algebra in terms of spatial diffeomorphism Lie algebras is not at our disposal. We find that, in order to achieve this, the Hamiltonian constraint has to be quantised by methods that extend those previously considered. The amount of quantisation ambiguities is somewhat reduced but not eliminated. We also show that the algebra of Hamiltonian constraints closes in a precise sense, with soft anomalies, that is, anomalies that do not cause inconsistencies. We elaborate on the relevance of these findings for full LQG.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論におけるディラック代数または超曲面変形代数が、パラメータ化された場の理論（PFT）の分布的解空間と一致する形で一貫して量子化可能かどうかを明らかにすること。
• LQGにおけるハミルトニアン制約を異常なしに量子化しつつ、古典的制約代数の代数的構造を保存するという、長年の課題に取り組むこと。
• PFTの明確に定義された表現にインspiredされた優先的な量子化スキームを同定することで、LQGにおける量子化のあいまいさの数を減らすこと。
• ソフト異常（非一貫性のない、有限の異常）が、明確に定義された物理的ヒルベルト空間と半古典的極限を許容する形で出現するかどうかを検討すること。

提案手法

• LQG で用いられる不連続な表現と整合性を持つように、三角形分割に基づく正則化スキームを採用してハミルトニアン制約を離散化すること。
• 制約代数の特異性を扱うために、体積演算子のスペクトル的性質から導かれる逆体積演算子 $ Q(J)^2 $ を導入すること。
• ポisson括弧の計算における微分の近似に、二重区間構成 $ J, J' $ を用い、構造関数の離散的量子化を可能にすること。
• 三角形分割による極限手続きを用いて、$ D_+ $ および $ D_- $ 制約を含む古典的ポアソン括弧を、量子交換関係に写像すること。
• 量子交換関係 $[\tilde{D}_+[f], \tilde{D}_-[g]]$ を再構成し、古典的代数的構造と定数倍の違いを除いて一致させることで、ソフト異常を伴う代数的閉包を確認すること。
• 非局所項を簡略化し、演算子を頂点局所的寄与にまで還元するために、恒等式 $ \{V(J), P_\pm(J')\} = -1/4 $ を用いることにより、期待される代数的形と整合性を保つこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論のディラック代数は、パラメータ化された場の理論（PFT）の分布的解空間を再現する形で、一貫して量子化可能か？
• RQ2 標準的な LQG における量子化手順にどのような修正を加えることで、ハミルトニアン制約代数の異常なしの閉包を達成できるか？
• RQ3 PFT の解空間および物理的内積との整合性を要求することで、量子化のあいまいさをどの程度まで低減できるか？
• RQ4 量子交換関係が、厳密には異常なしではないにせよ、古典的代数と一貫した形で閉じるかどうか？
• RQ5 ソフト異常（非一貫性のない、有限の異常）が、明確に定義された物理的ヒルベルト空間と半古典的極限を許容する形で出現する可能性はあるか？

主な発見

• 量子交換関係 $[\tilde{D}_+[f], \tilde{D}_-[g]]$ は明確な意味で閉じており、古典的代数的構造と定数倍 $ 1/2 $ の違いを除いて一致する。この因子は正則化における区間再定義によって吸収可能である。
• 得られた代数的構造にはソフト異常（有限で非一貫性のない異常）が含まれており、量子理論の一貫性を妨げない。
• 三角形分割と逆体積演算子 $ Q(J)^2 $ の使用により、ハミルトニアン制約の一貫した量子化が可能となり、従来の手法と比較して量子化のあいまいさが減少する。
• この枠組みにおける量子制約の解空間は、PFT のそれと一致しており、完全なディラック観測量の集合と明確に定義された物理的内積を含む。
• 量子交換関係は頂点の和に還元され、$ Q(v)^2 $ と無限小空間微分同相変換演算子からの局所的寄与が得られ、局所性および古典的代数との整合性が確認される。
• この手法は、量子的領域においても古典的構造関数を明示的な計算で再現でき、正則化および量子化手順の妥当性を裏付けている。