[論文レビュー] Level one algebraic cusp forms of classical groups of small ranks

Gaëtan Chenevier, David Renard|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、コンpakto古典的群上の自動形式の次元公式とエンドスコピック分解を用いて、GL_n(Q) のレベル1、極性、代数的正則、尖点的自動形式表現の数を n ≤ 8 について計算している。主な貢献は、無限小特性によって完全に分類された表現の明示的カウントであり、ランク8までのすべての重みについてカウントが行われている。

ABSTRACT

We determine the number of level 1, polarized, algebraic regular, cuspidal automorphic representations of GL_n over Q of any given infinitesimal character, for essentially all n <= 8. For this, we compute the dimensions of spaces of level 1 automorphic forms for certain semisimple Z-forms of the compact groups SO_7, SO_8, SO_9 (and G_2) and determine Arthur's endoscopic partition of these spaces in all cases. We also give applications to the 121 even lattices of rank 25 and determinant 2 found by Borcherds, to level one self-dual automorphic representations of GL_n with trivial infinitesimal character, and to vector valued Siegel modular forms of genus 3. A part of our results are conditional to certain expected results in the theory of twisted endoscopy.

研究の動機と目的

• GL_n(Q) のレベル1、極性、代数的正則、尖点的自動形式表現の数を n ≤ 8 について特定すること。
• SO_7、SO_8、SO_9、G_2 のコンパクト型におけるレベル1自動形式空間の次元を計算すること。
• すべての n ≤ 8 について、アーチャーのエンドスコピック分割を特定すること。
• ボルヒャーツのランク25、行列式2の121個の偶数ラティス、自DualなGL_n自動形式（無限小特性が自明）、および genus 3 のベクトル値シーゲルモジュラー形式への応用を示すこと。
• レベル1、正則、代数的状況におけるモチーフ、ガロア表現、自動形式の間のラングランズ–フォンタイン–マゾール予想的対応を計算的フレームワークで提供すること。

提案手法

• ハリシュ＝チャンドラ同型を用いて、無限小特性を Mn(C) 内の半単純共轭類に同定し、固有値を重み k1 > ... > kn とする。
• SO_7、SO_8、SO_9、G_2 のZ-形式におけるレベル1自動形式空間の次元を表現論的技法を用いて計算する。
• アーチャーのエンドスコピック分類を適用して自動形式空間をエンドスコピックパックに分解し、各エンドスコピック群の寄与を同定する。
• 重みとモチーフ的重み w(π) = ∑ki の双対性（ki + kn+1−i = w(π)）を用いて、可能な表現を制約する。
• 既知のモジュラー形式およびシーゲルモジュラー形式の結果を用いて、低ランクの場合のカウントを検証する。
• ねじれエンドスコピックに関する条件付き結果を適用して、すべての n ≤ 8 にわたる分類を拡張し、明示的な表現表を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≤ 8 のとき、各無限小特性に対して、GL_n(Q) のレベル1、極性、代数的正則、尖点的自動形式表現はいくつ存在するか？
• RQ2 SO_7、SO_8、SO_9、G_2 のコンパクト型におけるレベル1自動形式空間のエンドスコピック分解は何か？
• RQ3 これらの自動形式空間の次元は、与えられた重みを持つこのような表現の数とどのように関係するか？
• RQ4 この分類は、ボルヒャーツが構成したランク25、行列式2の121個の偶数ユニモジュラー格子にどのような含意をもたらすか？
• RQ5 このような自動形式表現の数は、genus 3 のベクトル値シーゲルモジュラー形式空間の次元とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、n ≤ 8 について、すべてのレベル1、極性、代数的正則、尖点的自動形式表現を重み k1 > ... > kn でパrameter化した完全なリストを提供している。
• 各 n ≤ 8 について、与えられた重みを持つこのような表現の数を明示的に計算しており、すべての可能な重みタプルについて表形式で提示している。
• SO_7、SO_8、SO_9、G_2 のコンパクト型におけるレベル1自動形式空間の次元を表現論的手法を用いて計算している。
• これらの自動形式空間のエンドスコピック分解が完全に特定されており、表現がどのエンドスコピック群から生じるかが明らかになっている。
• レベル1、正則、代数的状況における自動形式とモチーフの間の期待される対応が確認されており、明示的カウントが予想通りの値と一致している。
• 応用として、genus 3 のベクトル値シーゲルモジュラー形式の明示的カウントが得られ、ボルヒャーツの121個のランク25の偶数格子（行列式2）の構造の検証がなされている。