[論文レビュー] Level sets of multiple ergodic averages

Aihua Fan, Lingmin Liao+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、符号的力学系における複数のエルゴード平均のレベル集合の多フラクタル構造を、Riesz積を用いて研究する。{+1,−1}^N 上のシフト系において、最初の座標のℓ重平均に対して、レベル集合のハウスドルフ次元が 1−1/ℓ + (1/ℓ)H((1+θ)/2) で与えられることを確立する。ここで H は二進エントロピー関数である。これは、群上の調和解析を用いて、古典的結果を高次平均へと拡張するものである。

ABSTRACT

We propose to study multiple ergodic averages from multifractal analysis point of view. In some special cases in the symbolic dynamics, Hausdorff dimensions of the level sets of multiple ergodic average limit are determined by using Riesz products.

研究の動機と目的

• 複数のエルゴード平均の符号的力学系における多フラクタル性を調査すること。
• 複数のエルゴード平均が与えられた値 θ ∈ [−1,1] に収束するレベル集合のハウスドルフ次元を特定すること。
• 群論的および調和解析的構造の文脈において、古典的な多フラクタル解析を単一平均から複数平均へと拡張すること。
• Riesz積法の非対称的または非特徴的値をとる観測量への一般化における限界を探索すること。
• スパarsity制約を満たす二進列に基づく特定の部分集合 X₀ のボックス次元を計算すること。

提案手法

• 符号的空間 D = {+1,−1}^N の群構造を用い、観測量 x_k x_{2k} ... x_{ℓk} を群の特徴として特定する。
• Riesz積測度 P_θ を、B_θ に台を持つように構成する。積の形 ∏_{k=1}^∞ (1 + θ ξ_k(x)) / 2 で表され、ここで ξ_k(x) = x_k x_{2k} ... x_{ℓk} である。
• Billingsleyの定理を用いて、P_θ の局所次元と B_θ のハウスドルフ次元を関連付ける。
• Rademacher関数とWalsh系の独立性を用いて、シリンダ測度の対数的成長を計算する。
• インデックスを二進レベル C_k に分割する組合せ的分解を用い、制約 x_ℓ x_{2ℓ} = 0 の下での許容可能な二進列の数を数える。
• a_0=1, a_1=2, a_n = a_{n-1}+a_{n-2} で定義されるフィボナッチ型の数列 a_n を用い、各二進列の列における有効な配置を数える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓ個の特徴の複数エルゴード平均が値 θ ∈ [−1,1] に収束するレベル集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 Riesz積を用いて、符号的系における複数エルゴード平均のレベル集合の次元を計算できるか？
• RQ3 このようなレベル集合の次元はパラメータ θ と平均の次数 ℓ にどのように依存するか？
• RQ4 すべての ℓ に対して x_ℓ x_{2ℓ} = 0 を満たす二進列の集合 X₀ のボックス次元は何か？
• RQ5 なぜRiesz積法は、(x_1+1)/2 のような指示関数に置き換えられた観測量では失敗するのか？

主な発見

• レベル集合 B_θ のハウスドルフ次元は、正確に 1−1/ℓ + (1/ℓ)H((1+θ)/2) に等しく、ここで H(t) = −t log₂ t − (1−t) log₂(1−t) は二進エントロピー関数である。
• ℓ ≥ 2 かつ θ ∈ [0,1] のとき、B_θ の次元は正であり、1−1/ℓ > 0 で下から有界である。
• Riesz積 P_θ は B_θ に台を持ち、B_θ のハウスドルフ次元と同一の局所次元を持つ。これにより、Billingsleyの定理の適用が可能になる。
• 集合 X₀ = {x ∈ {0,1}^N : x_ℓ x_{2ℓ} = 0 for all ℓ} のボックス次元は、∑_{n=1}^∞ (log₂ a_n)/2^{n+1} に等しく、ここで a_n は a_0=1, a_1=2 で定義されるフィボナッチ数列である。
• X₀ の計算されたボックス次元は約 0.8242936 であり、後にKenyon, Peres, Solomyakによって、ハウスドルフ次元が厳密に小さいことが示された。
• 観測量が (x_1+1)/2 のような指示関数に置き換えられる場合、特に A_θ の場合に、群特徴構造の欠如により、この方法は失敗する。