[論文レビュー] Level spacing for continuum random Schrödinger operators with applications

Adrian Dietlein, Alexander Elgart|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、符号が定義された単一サイトバンプ関数と絶対連続な単一サイト確率測度をもつ連続型合金的ランダムシュレーディンガー作用素に対して、確率的レベル間隔推定を確立する。有限体積 $L$ の領域において、しきい値エネルギー未満の固有値は、十分に大きな $eta>1$ に対して、$e^{-(\log L)^\beta}$ よりも小さい間隔で存在する確率が小さい。これは無限体積極限におけるスペクトルの単純性を示し、さらにリプシッツ連続な単一サイト密度の下でポアソン統計が成り立つことを示している。

ABSTRACT

For continuum alloy-type random Schrodinger operators with sign-definite single-site bump functions and absolutely continuous single-site randomness we prove a probabilistic level-spacing estimate at the bottom of the spectrum. More precisely, given a finite-volume restriction of the random operator onto a box of linear size $L$, we prove that with high probability the eigenvalues below some threshold energy keep a distance of at least $e^{-(\log L)^\beta}$ for sufficiently large $\beta>1$. This implies simplicity of the spectrum of the infinite-volume operator below the threshold energy. Under the additional assumption of Lipschitz-continuity of the single-site probability density we also prove a Minami-type estimate and Poisson statistics for the point process given by the unfolded eigenvalues around a reference energy $E$.

研究の動機と目的

• 連続型ランダムシュレーディンガー作用素の有限体積制限における固有値間隔の確率的下界を確立すること。
• 与えられたしきい値エネルギー未満で、無限体積極限におけるスペクトルの単純性を示すこと。
• リプシッツ連続な単一サイト密度の下で、ミナミ型推定を導出し、unfolded固有値点過程のポアソン統計の確認をすること。
• 離散型から連続型ランダムシュレーディンガー作用素へのレベル間隔結果の拡張を、単一サイトポテンシャルに関する特定の構造的仮定の下で行うこと。

提案手法

• 線形サイズ $L$ のボックス上でのランダムシュレーディンガー作用素の有限体積制限を分析する。
• 与えられたエネルギーしきい値未満の小さな固有値間隔の発生確率を抑え込むための確率的推定を用いる。
• 単一サイトバンプ関数の符号の定義性を用いて、局在化と固有値の反発効果を制御する。
• 大偏差型の議論を適用し、固有値間隔が通常 $e^{-(\log L)^\beta}$ よりも大きいことを示す（$ \beta>1$）。
• 追加的にリプシッツ連続な単一サイト確率密度の仮定の下で、ミナミ型推定を導入する。
• unfolded固有値の点過程を分析し、基準エネルギー $E$ でのポアソン統計への収束を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続型合金的ランダムシュレーディンガー作用素の有限体積制限における固有値の典型的な最小間隔は何か？
• RQ2 無限体積ランダムシュレーディンガー作用素が与えられたエネルギーしきい値未満で単純スペクトルを示すための条件は何か？
• RQ3 絶対連続な単一サイト不規則性をもつ連続型ランダムシュレーディンガー作用素に対して、ミナミ型推定を確立できるか？
• RQ4 リプシッツ連続な単一サイト密度の下で、このような作用素のunfolded固有値点過程はポアソン統計に収束するか？
• RQ5 レベル間隔の挙動は、有限ボックスのサイズ $L$ と単一サイト分布の正則性にどのように依存するか？

主な発見

• 十分に大きな $ \beta>1$ に対して、有限ボックスサイズ $L$ の領域において、しきい値エネルギー未満の固有値が $e^{-(\log L)^\beta}$ よりも小さい間隔で存在する確率は小さい。
• レベル間隔推定により、しきい値エネルギー未満の無限体積作用素のスペクトルの単純性が示唆される。
• 単一サイト確率密度のリプシッツ連続性の下で、有限体積固有値数関数に対してミナミ型推定が成り立つ。
• 同じリプシッツ仮定の下で、unfolded固有値の点過程は基準エネルギー $E$ でポアソン過程に収束する。
• 単一サイトバンプ関数の符号の定義性と絶対連続な単一サイト不規則性の下で、レベル間隔推定は安定である。
• 結果として、連続型ランダムシュレーディンガー作用素における固有値間隔、スペクトル統計、および単一サイト分布の正則性との関係が確立される。