[論文レビュー] Levin Steckin theorem and inequalities of the Hermite-Hadamard type

Tomasz Szostok|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Levin-Stečkinの定理を適用することで、凸関数の重み付き点における関数値の凸結合と区間上の積分平均を含む不等式を拡張する。符号付き変動および分布関数の交差点解析を用いて、すべての凸関数に対して成り立つような不等式の必要十分条件を特定し、Ohlinの補題に基づく先行研究を一般化し、より長い式や数値積分の比較に対しても解析可能にする。

ABSTRACT

Recently Ohlin lemma on convex stochastic ordering was used to obtain some inequalities of Hermite-Hadamard type. Continuing this idea, we use Levin-Stečkin result to determine all inequalities of the forms: $$\sum_{i=1}^3a_if(α_ix+(1-α_i)y)\leq \frac{1}{y-x}\int_{x}^yf(t),$$ $$a_1f(x)+\sum_{i=2}^3a_if(α_ix+(1-α_i)y)+a_4f(y)\geq \frac{1}{y-x}\int_{x}^yf(t)$$ and $$af(α_1x+(1-α_1)y)+(1-a)f(α_2x+(1-α_2)y)\leq b_1f(x)+b_2f(βx+(1-β)y)+b_3f(y)$$ which are satisfied by all convex functions $f:[x,y] o{\mathbb R}.$ As it is easy to see, the same methods may be applied to deal with longer expressions of the forms considered. As particular cases of our results we obtain some known inequalities.

研究の動機と目的

• Ohlinの補題が2点または3点の比較に限定されていた範囲を超えて、Hermite-Hadamard型不等式に関する先行研究を拡張すること。
• すべての凸関数 $f$ に対して成り立つ不等式 $\sum a_i f(\alpha_i x + (1-\alpha_i)y) \leq \frac{1}{y-x}\int_x^y f(t)\,dt$ を特徴付けること。
• より長い式や、積分平均を含まない2つの数値積分作用素を比較する不等式に対しても、この手法を一般化すること。
• Levin-Stečkinの定理を用いた体系的な枠組みを提供し、すべての凸関数に対してその不等式が成立する条件を特定すること。

提案手法

• 符号付き測度および有界 Variation を持つ分布関数を分析するために、Levin-Stečkinの定理を用いる。
• Levin-Stečkinの定理から導かれる補題2を適用し、$F_1$ と $F_2$ の間の交差回数と位置に基づいて、すべての凸関数 $f$ に対して $\int f\,dF_1 \leq \int f\,dF_2$ が成り立つための条件を特定する。
• $A_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}} |F_1(t) - F_2(t)|\,dt$ を定義し、交差回数が奇数のとき、積分不等式が成り立つようにする再帰的不等式を導出する。
• 係数 $a_i$, $\alpha_i$, および重み $b_j$ に関する代数的条件、たとえば $\sum a_i(1-\alpha_i) = \frac{1}{2}$ や $A_i$ 項の不等式をチェックすることで、問題を簡略化する。
• 点ごとの凸結合を $[0,1]$ 上の分布関数 $F_1$ および $F_2$ に変換し、積分比較定理の適用を可能にする。
• 対称性および変数変換を用いて、一般の区間 $[x,y]$ を損失を伴わずに $[0,1]$ に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての凸関数 $f$ に対して、三項の凸結合 $\sum_{i=1}^3 a_i f(\alpha_i x + (1-\alpha_i)y)$ が積分平均 $\frac{1}{y-x}\int_x^y f(t)\,dt$ に上から抑えられるための必要十分条件は何か？
• RQ2 Levin-Stečkinの定理を用いて、分布関数の間の交差点が1つを超える場合に、Ohlinの補題を一般化する方法は何か？
• RQ3 たとえば $a f(\alpha_1 x + (1-\alpha_1)y) + (1-a) f(\alpha_2 x + (1-\alpha_2)y) \leq b_1 f(x) + b_2 f(\beta x + (1-\beta)y) + b_3 f(y)$ のような2つの数値積分作用素を比較する不等式が、すべての凸関数に対して成り立つための条件は何か？
• RQ4 この手法を3点を超えるより長い式に拡張できるか？その際の計算的課題は何か？
• RQ5 不等式 $a f(\alpha x + (1-\alpha)y) + (1-a) f(\beta x + (1-\beta)y) \leq \frac{1}{y-x}\int_x^y f(t)\,dt$ がすべての凸関数 $f$ に対して成り立つための正確な代数的条件は何か？

主な発見

• 不等式 $\sum_{i=1}^3 a_i f(\alpha_i x + (1-\alpha_i)y) \leq \frac{1}{y-x}\int_x^y f(t)\,dt$ がすべての凸関数 $f$ に対して成り立つのは、$\sum a_i(1-\alpha_i) = \frac{1}{2}$ かつ、$a_1 \leq 1-\alpha_1$ かつ $a_1 + a_2 \geq 1 - \alpha_3$、または $a_1 \geq 1 - \alpha_1$ かつ $a_1 + a_2 \leq 1 - \alpha_3$ のいずれかが成り立つとき、かつそのときに限る。
• 不等式 $a f(\alpha_1 x + (1-\alpha_1)y) + (1-a) f(\alpha_2 x + (1-\alpha_2)y) \leq b_1 f(x) + b_2 f(\beta x + (1-\beta)y) + b_3 f(y)$ がすべての凸関数に対して成り立つのは、$b_2(1-\beta) + b_3 = a(1-\alpha_1) + (1-a)(1-\alpha_2)$ が成り立ち、かつ以下の4つの場合のいずれかが成り立つとき、かつそのときに限る：$a \leq b_1$、$a \geq b_1 + b_2$、$= \alpha_2 \geq \beta$、または $a \in (b_1, b_1 + b_2)$、$\alpha_2 < \beta$、かつ $(1-\alpha_1)b_1 \geq (\alpha_1 - \beta)(a - b_1)$。
• 区間 $x \in \left[\frac{3a+b}{4}, \frac{a+b}{2}\right]$ に対して成り立つ不等式 $\frac{f(x)+f(a+b-x)}{2} \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt$ は、特殊ケースとして回復される。
• 区間 $x \in \left[a, \frac{a+b}{2}\right]$ に対して成り立つ不等式 $\frac{f(a)+f(x)+f(a+b-x)+f(b)}{4} \geq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt$ は、以前の手法では到達できなかったが、今や定理3により証明可能となった。
• 例3では、$\frac{f(\alpha x + (1-\alpha)y) + f((1-\alpha)x + \alpha y)}{2} \leq \frac{f(x) + f(\frac{x+y}{2}) + f(y)}{3}$ がすべての凸関数 $f$ に対して成り立つのは、$\alpha \leq \frac{5}{6}$ のときに限ることが示された。
• 例4では、$\frac{f(\alpha x + (1-\alpha)y) + f((1-\alpha)x + \alpha y)}{2} \leq \frac{1}{6}f(x) + \frac{2}{3}f(\frac{x+y}{2}) + \frac{1}{6}f(y)$ が成り立つのは、$\alpha \leq \frac{2}{3}$ のときに限ることが確認された。