[論文レビュー] Levy area logistic expansion and simulation

Simon J. A. Malham, Anke Wiese|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2011

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、2次元確率微分方程式におけるLévy面積のサンプリングのための新規で効率的な手法を提案する。無限級数として表現された重み付きロジスティック確率変数の系列を用い、累積分布関数の逆関数を10^(-12)の均一な誤差制御で近似するためのチェビシェフ多項式近似を活用することで、平方対数的計算量を達成し、高い精度で強いMilsteinスキームを実装可能にし、準モンテカルロ法への適合も可能となる。

ABSTRACT

We present a new method for sampling the Levy area for a two-dimensional Wiener process conditioned on its endpoints. An efficient sampler for the Levy area is required to implement a strong Milstein numerical scheme to approximate the solution of a stochastic differential equation driven by a two-dimensional Wiener process whose diffusion vector fields do not commute. Our method is simple and complementary to those of Gaines-Lyons and Wiktorsson, and amenable to quasi-Monte--Carlo implementation. It is based on representing the Levy area by an infinite weighted sum of independent Logistic random variables. We use Chebychev polynomials to approximate the inverse distribution function of sums of independent Logistic random variables in three characteristic regimes. The error is controlled by the degree of the polynomials, we set the error to be uniformly 10^(-12). We thus establish a strong almost-exact Levy area sampling method. The complexity of our method is square logarithmic. We indicate how our method can contribute to efficient sampling in higher dimensions.

研究の動機と目的

• 2次元ウィーナー過程の端点を条件とするLévy面積の効率的かつ高精度なサンプリング手法の開発。
• 既存のサンプラーの限界を克服し、準モンテカルロ手法と互換性を持つ手法の提供。
• 逆分布関数近似における一様誤差制御を実現し、特に10^(-12)に設定。
• 非可換拡散ベクトル場を有するSDEに対して、強力なMilsteinスキームの実装を可能にする。
• 構造的一般化を通じて、高次元確率過程へのアプローチの拡張。

提案手法

• Lévy面積は、独立なロジスティック確率変数の無限重み付き和として表現される。
• 部分和の累積分布関数の逆関数近似に、チェビシェフ多項式が用いられる。
• 和の分布の3つの特徴的な特性的領域が特定され、それぞれ別々に処理され、近似精度が最適化される。
• チェビシェフ多項式の次数が、逆CDF近似における一様誤差が10^(-12)以下に抑えられるように選ばれる。
• 準モンテカルロ統合と互換性を持つように設計されており、収束速度が向上する。
• サンプリング手順の計算量は、所望の精度の逆数の対数の平方に比例する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元ウィーナー過程のLévy面積を、高い精度と低い計算コストでどのようにサンプリングできるか？
• RQ2 重み付きロジスティック確率変数の和による表現が、効率的かつ高精度な逆変換サンプリングを可能にするか？
• RQ3 どのような近似戦略が、異なる分布領域にわたって一様に10^(-12)の誤差制御を実現するか？
• RQ4 この手法の計算量は、所望の精度にどのように依存するか？また、平方対数的計算量を達成できるか？
• RQ5 このアプローチは、高次元確率過程へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 適応的チェビシェフ多項式近似により、逆累積分布関数近似における一様誤差境界が10^(-12)に達成された。
• サンプリングの計算量は、誤差許容誤差の逆数の対数の平方に比例しており、高い効率性を示す。
• 準モンテカルロ法と互換性があり、数値シミュレーションにおける収束速度が向上する。
• Lévy面積を重み付きロジスティック変数の和として表現することで、あらゆる領域で安定的かつ高精度なサンプリングが可能となった。
• 強いほぼ正確なサンプリング手法を提供し、高次のMilsteinスキームの実装に適している。
• フレームワークは高次元SDEへ拡張可能であり、多次元設定における効率的シミュレーションへの道筋を提供する。