[論文レビュー] Lewisian Fixed Points I: Two Incomparable Constructions

Tadeusz Litak, Albert Visser|arXiv (Cornell University)|May 23, 2019

Logic, programming, and type systems参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、直感的命題論理における明示的不動点の2つの異なる構成法を検討し、ルイスの矢印を主な接続詞とする論理式に注目する。de Jongh-Visserおよびde Jongh-Sambinの手法が、それぞれ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$および${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$という、互いに比較不能なモダリティ的理論をもたらすことを示し、それらの理論の拡張安定性と非保存性を証明するとともに、その結合の公理的体系を構築し、不動点原理を用いた部分理論の分析を行う。

ABSTRACT

Our paper is the first study of what one might call "reverse mathematics of explicit fixpoints". We study two methods of constructing such fixpoints for formulas whose principal connective is the intuitionistic Lewis arrow. Our main motivation comes from metatheory of constructive arithmetic, but the systems in question allows several natural semantics. The first of these methods, inspired by de Jongh and Visser, turns out to yield a well-understood modal system. The second one by de Jongh and Sambin, seemingly simpler, leads to a modal theory that proves harder to axiomatize in an elegant way. Apart from showing that both theories are incomparable, we axiomatize their join and investigate several subtheories, whose axioms are obtained as fixpoints of simple formulas. We also show that they are extension stable, that is, their validity in the corresponding preservativity logic of a given arithmetical theory transfer to its finite extensions.

研究の動機と目的

• 直感的命題論理における明示的不動点を構成する2つの異なる手法を分析・比較すること、特にルイスの矢印を主な接続詞とする論理式に注目すること。
• 特に構成的算術の文脈において、得られる理論の論理的性質、特に拡張安定性と非保存性を調査すること。
• 2つの比較不能な理論の結合を公理化し、単純な不動点原理によって定義される部分理論を研究すること。
• ${\mathsf{i}A}^{-}$の拡張のうち${\mathsf{i}A}$にまで拡張されないものにおいて、Kripke対応条件の役割を明確にすること。
• 明示的不動点と直感的枠組みにおけるBethの定義可能性性質との関係を調査すること。

提案手法

• 最初の構成法はde JonghとVisserにインspiredされ、既によく理解されており、既知のフレームワークにより公理化されたモダリティ的体系${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$をもたらす。
• 2番目の構成法はde JonghとSambinに基づき、${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$を導く。この体系は洗練された公理化を拒み、より深い分析を要する。
• 論理的原理の妥当性を検証するため、代数的およびKripke意味論を用いてモデルの構造を分析する。また、Mace4を用いて反例モデルを生成する。
• ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$の4つの顕著な部分理論を、${\mathsf{W}}^{\ast}$、${\mathsf{W}}^{\circ}$、${\mathsf{L}^{\circ}_{a}}$、および$4^{\circ}_{\mathsf{a}}$などの原理によって定義する。
• 2つの理論の結合は、それぞれの公理を組み合わせ、論理的閉包および拡張安定性の閉包性を証明することで公理化される。
• 不動点計算の基盤としてde Jongh-Sambinのアルゴリズムを用い、定義可能性と一意性の分析に活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 de Jongh-Visserおよびde Jongh-Sambinの2つの不動点構成法は論理的に同値であるか、それとも比較不能な理論をもたらすか？
• RQ2 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$というSambin風の構成から得られる理論は、洗練されたかつ洗練された公理化を有するか？
• RQ3 ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$および${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$の結合は公理化可能か？ その論理的構造は何か？
• RQ4 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus 4^{\circ}_{\mathsf{a}}$から$44^{\circ}_{\mathsf{a}}$が導かれるか？ これはDi条件の役割に何を示唆するか？
• RQ5 ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$および${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$の両方の理論は拡張安定性を満たすか？ つまり、理論の保存性論理における妥当性が、その有限拡張に対しても伝播するか？

主な発見

• 2つの不動点構成法は比較不能な理論をもたらす：${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$および${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$は論理的に異なる。一方が他方を含まない。
• ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$は拡張安定性を満たす。すなわち、ある算術的理論において成立するならば、そのすべての有限拡張においても成立する。
• ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$および${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$の結合は、公理の組み合わせにより公理化され、一貫性と適切な定義性が示されている。
• $44^{\circ}_{\mathsf{a}}$は${\mathsf{i}A}^{-}\oplus 4^{\circ}_{\mathsf{a}}$から導かれない。Mace4を用いて発見された6要素のヘイティング代数の反例モデルにより、Di条件がこのような導出に不可欠であることが示された。
• ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$はBethの定義可能性性質を証明する。明示的不動点が定義可能性を意味するため、この性質はこの体系の任意の拡張に対しても引き継がれる。
• $4^{\circ}_{\mathsf{a}}$によって定義される部分理論は$44^{\circ}_{\mathsf{a}}$を証明しない。これは不動点原理の間に厳密な階層が存在することを示し、Kripke意味論におけるDi条件の重要性を強調する。