[論文レビュー] Li-Yau gradient bound for collapsing manifolds under integral curvature condition

Qi S. Zhang, Meng Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、完全なリーマン多様体における測地的球上で、負のリッチ曲率の$L^p$ノルムが局所的平均で小さいという積分的曲率条件の下で、正の解に対する熱方程式のLi-Yau勾配評価を確立する。Dai-Wei-Zhangのソボレフ不等式と重み関数$J$の境界値問題を用いることで、多様体が崩壊する場合でさえも成り立つ局所的勾配評価を導出しており、従来の非崩壊性仮定を必要としていた結果を拡張する。

ABSTRACT

Let $(\M^n, g_{ij})$ be a complete Riemammnian manifold. For some constants $p,\ r>0$, define $\displaystyle k(p,r)=\sup_{x\in M}r^2\left(\oint_{B(x,r)}|Ric^-|^p dV ight)^{1/p}$, where $Ric^-$ denotes the negative part of the Ricci curvature tensor. We prove that for any $p>\frac{n}{2}$, when $k(p,1)$ is small enough, certain Li-Yau type gradient bound holds for the positive solutions of the heat equation on geodesic balls $B(O,r)$ in $\M$ with $0

研究の動機と目的

• 非崩壊性仮定を必要としない、崩壊する可能性のあるリーマン多様体へのLi-Yau勾配評価の拡張。
• 正の解に対する熱方程式の局所的Li-Yau型勾配評価の確立。ただし、リッチ曲率の負の部分が局所的に$L^p$に属する場合（$p > n/2$）。
• 積分的リッチ曲率束縛を持つ多様体に対して、ソボレフ不等式と重み関数の境界値問題を用いて、従来の非崩壊性条件を除去する。
• 放物的スケーリングに対して不変な局所的勾配評価を証明し、それが局所的ハーナック不等式および熱核のガウス型下界を示唆すること。

提案手法

• 負のリッチ曲率の局所的$L^p$ノルムを定量化するため、$k(p,r) = \sup_{x \in M} r^2 \left( \oint_{B(x,r)} |Ric^{-}|^p \, dV \right)^{1/p}$ を定義する。
• 量$\alpha J \frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{\partial_t u}{u}$ の時間発展を制御するため、非線形放物型境界値問題を満たす重み関数$J(x,t)$を導入する。
• 台が$B(O,1)$に含まれ、$B(O,\frac{1}{2})$で1に等しい切り上げ関数$\phi$を用意し、$|\nabla \phi|^2 + |\Delta \phi| \leq C(n,p)$ を満たすようにする。
• 最大値原理を量$t \phi^2 Q$に適用し、微分不等式を導出する。ここで$Q = \alpha J \frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{\partial_t u}{u}$ である。
• 熱核のガウス上界と体積二重性を用いて、$J$の下界と上界を導出し、$\underline{J}(t)$ の定義に至る。
• $\delta = \frac{2(1-\alpha)^2}{n + (1-\alpha)^2}$ を選ぶことで、発展不等式における問題となる項を消去し、二次係数の非負性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負のリッチ曲率が$L^p$可積分性を満たす条件下で、崩壊する幾何を持つ多様体上での熱方程式に対するLi-Yau勾配評価を確立できるか？
• RQ2 下界のないリッチ曲率のもとで、負のリッチ曲率が$L^p$平均で制御される場合に、局所的勾配評価が可能か？
• RQ3 従来の$L^p$リッチ曲率束縛に関する結果における非崩壊性仮定を、ソボレフ不等式と重み関数の境界値問題を用いて除去できるか？
• RQ4 放物的スケーリング下での勾配評価の鋭さとスケーリング性質は何か？
• RQ5 導出された評価が、局所的ハーナック不等式および熱核のガウス型下界を示唆するか？

主な発見

• 任意の$p > \frac{n}{2}$に対して、$k(p,1) \leq \kappa(n,p)$ かつ十分に小さい定数$\kappa$ならば、$B(O,\frac{1}{2}) \times (0,\infty)$ 上でLi-Yau型勾配評価が成立する。
• 評価は$\alpha \underline{J} \frac{|\nabla u|^2}{u^2} - \frac{\partial_t u}{u} \leq \frac{n}{\alpha(2-\delta)\underline{J}} \frac{1}{t} + \frac{C}{\alpha(2-\delta)\underline{J}} \left[ \frac{1}{\alpha(2-\delta)\underline{J}(1-\alpha)} + 1 \right]$ の形を取り、$\underline{J}(t)$ は$t$に関して指数的に減少する。
• 評価は放物的スケーリングに対して不変であり、$k(p,r) \leq \kappa$ の条件と評価の構造が保たれる。
• 結果として、崩壊幾何が存在する場合でも、局所的ハーナック不等式および熱核のガウス型下界が得られる。
• ZhangとZhu（2016）の先行研究における非崩壊性仮定を、本手法により完全に除去し、$p > n/2$ における$L^p$リッチ曲率束縛の枠組みを完成させた。
• 定数$\kappa$は$n$と$p$にのみ依存し、スケーリング不変性によって定数の鋭さが確認されたため、評価は定数の鋭さにおいて最適である。