[論文レビュー] Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology of Jacobi manifolds: modular class and duality

Manuel de León, B. López+2 more|ArXiv.org|Oct 15, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、リー代数準束構造とハミルトニアンベクトル場を用いて、ジャコビ多様体のリヒネロヴィッチ・ジャコビコホモロジーとホモロジーの統一的枠組みを確立する。共形変換のもとでの不変性を証明し、モジュラークラスが消える場合にコホモロジーとホモロジーの双対性が成り立つことを示す。シンプレクティック、接触、リー＝ポワンソン多様体について明示的な計算を行い、コンパクトなリー代数の双対の単位球面を含む。

ABSTRACT

Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology of Jacobi manifolds are reviewed. We present both in a unified approach using the representation of the Lie algebra of functions on itself by means of the hamiltonian vector fields. The use of the associated Lie algebroid allows to prove that the Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology are invariant under conformal changes of the Jacobi structure and to stablish the duality between Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology when the modular class vanishes. We also compute the Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology for a large variety of examples.

研究の動機と目的

• リー代数準束およびハミルトニアンベクトル場表現を用いて、ジャコビ多様体の統一的コホモロジーおよびホモロジー理論を構築すること。
• ジャコビ構造の共形変換におけるリヒネロヴィッチ・ジャコビコホモロジーとホモロジーの挙動を分析すること。
• モジュラークラスが消える場合に、リヒネロヴィッチ・ジャコビコホモロジーとホモロジーの間の双対性を確立すること。
• 主な例として、シンプレクティック、接触、局所的共形シンプレクティック、および実リー代数の単位球面について、これらのコホモロジーおよびホモロジー群を明示的に計算すること。
• モジュラークラスが双対性および不変性の性質を決定づける役割を明確にすること。

提案手法

• ジャコビ多様体上の滑らかな関数のリー代数をハミルトニアンベクトル場によって表現し、リヒネロヴィッチ・ジャコビコホモロジーとホモロジーを定義する。
• 関連するリー代数準束構造を用いて、ジャコビ構造の共形変更のもとでのコホモロジーおよびホモロジーの不変性を証明する。
• シェヴァリエ＝アイレンベルク複体を用いて、完全な複体の部分複体として、ジャコビ多様体のコホモロジーおよびホモロジー理論を導出する。
• モジュラークラスを用いて、コホモロジーとホモロジーの間の双対性が成り立つ条件を特定し、特にそれが消える場合に注目する。
• シンプレクティック多様体、接触多様体、リー＝ポワンソン構造、およびコンパクトリー代数の双対の単位球面といった特定のクラスについて、コホモロジーおよびホモロジーを計算する。
• リー代数のコホモロジーおよび多様体上の不変関数の代数を用いて、ホモロジー群とコホモロジー群の間の同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャコビ構造の共形変換において、リヒネロヴィッチ・ジャコビコホモロジーはどのように変化するか？
• RQ2 リヒネロヴィッチ・ジャコビコホモロジーとホモロジーの間の双対性が成り立つ条件は何か？
• RQ3 シンプレクティック多様体および接触多様体について、リヒネロヴィッチ・ジャコビコホモロジーとホモロジーの明示的構造は何か？
• RQ4 モジュラークラスは、ジャコビ多様体におけるコホモロジーとホモロジーの双対性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 コンパクトリー代数の双対の単位球面のリヒネロヴィッチ・ジャコビホモロジーは何か？また、リー代数コホモロジーとどのように関係するか？

主な発見

• リー代数準束の枠組みを用いて、リヒネロヴィッチ・ジャコビコホモロジーとホモロジーがジャコビ構造の共形変更に対して不変であることが示された。
• モジュラークラスが消える場合に限り、リヒネロヴィッチ・ジャコビコホモロジーとホモロジーの間の双対性が成り立つ。
• コンパクトリー代数 $ {{g}} $ の双対の単位球面 $ S^{n-1}({{g}}) $ に対して、ホモロジーは $ H_{k}^{LJ}(S^{n-1}({{g}})) \to H^{n-k}({{g}}) \times \text{Inv} $ を満たす。ここで $ \text{Inv} $ は不変関数の代数を表す。
• シンプレクティック多様体 $ (M^{2m}, \bar{\nu}) $ の場合、ホモロジーは $ \frac{H_{dR}^{2m+1-k}(M)}{\text{Im}\bar{L}^{2m-k-1}} \times \text{Ker}\bar{L}^{2m-k} $ に同型であり、$ \bar{L} $ は $ [\beta] \to [\beta \times \bar{\nu}] $ として作用する。
• 接触多様体 $ M^{2m+1} $ の場合、リヒネロヴィッチ・ジャコビホモロジーはすべての次数で消え、構造が非ユニモジュラーであることに起因する。
• 平行リー1形式をもつ局所的共形シンプレクティック多様体の場合、リヒネロヴィッチ・ジャコビホモロジーは自明であり、非ゼロのモジュラークラスと整合的である。