[論文レビュー] Lie algebraic deformations of Minkowski space with Poincare algebra

Stjepan Meljanac, Daniel Meljanac+2 more|ArXiv.org|Sep 9, 2009

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$Π$-ミンコフスキー空間とスナイダー非可換空間の間を補間するリー代数的変形を導入する。この変形は、元のポincare代数を保存しつつ、余代数的構造を変形する。非可換座標の実現、一般化されたコプロダクトとスター積、および変形されたライブニッツ則と不変量の正確な表現が得られ、特殊な場合に既知の$Π$-変形およびスナイダータイプ代数が回復される。

ABSTRACT

We present Lie-algebraic deformations of Minkowski space with undeformed Poincaré algebra. These deformations interpolate between Snyder and $κ$-Minkowski space. We find realizations of noncommutative coordinates in terms of commutative coordinates and derivatives. Invariants and tensors with respect to Lorentz algebra are discussed. A general mapping from $κ$-deformed Snyder to Snyder space is constructed. Deformed Leibniz rule, the coproduct structure and star product are found. Special cases, particularly Snyder and $κ$-Minkowski in Maggiore-type realizations are discussed.

研究の動機と目的

• リー代数的構造を用いて、$Π$-ミンコフスキーとスナイダータイプの非可換ミンコフスキー空間の統一的クラスを構築すること。
• 代数的領域ではポincare代数を不変に保ちつつ、余代数的構造を変形することで、ローレンツ不変性を確保すること。
• 非可換座標の実現を、可換座標および微分作用素の言語で明示的に導出すること。
• この非可換空間のクラスに対して、コプロダクト、スター積、および変形されたライブニッツ則を一般化すること。
• $s=0$ では $Π$-ミンコフスキー空間、$s=1$ ではスナイダータイプ代数が一般変形フレームワークの特殊極限として回復されること。

提案手法

• パrameter $s$ でパrameter化された、ミンコフスキー空間の1パラメータ族のリー代数的変形を導入し、$s=0$ で $Π$-ミンコフスキー空間、$s=1$ でスナイダータイプに補間する。
• シフト作用素 $Z = \sqrt{1 + sD^2}$ を用いて、非可換座標 $\hat{x}_\mu$ を可換座標 $X_\mu$ および微分作用素 $D_\mu$ の関数として実現する。
• 一般化されたシフト作用素 $Z^{-1} = \sqrt{1 + sD^2}$ を用いて、コプロダクト構造 $\triangle D_\mu$ および $\triangle \hat{x}_\mu$ を導出し、ホップ代数構造と整合性を保つ。
• コプロダクトと一般化されたダランベール作用素 $\square = \frac{2}{a^2}(1 - \sqrt{1 - a^2D^2})$ を用いてスター積を定義する。
• 変形された余代数と生成子の $Z$-依存構造を用いて、不変量およびローレンツテンソルを確立する。
• 一般フレームワークを特殊化して、既知のケースを回復する：$s=0$ では $Π$-変形空間が得られ、コプロダクトは閉形式で与えられ、$s=1$ ではスナイダータイプ代数が回復される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、ポincare代数を不変に保ちつつ、余代数的構造を変形するリー代数的ミンコフスキー空間の変形を構築できるか？
• RQ2 この非可換空間クラスに対して、一般化されたコプロダクトおよびスター積の形は何か？
• RQ3 非可換座標の可換変数および微分作用素による実現は、変形パrameter $s$ にどのように依存するか？
• RQ4 このフレームワークは、$Π$-ミンコフスキー空間とスナイダータイプ非可換性の間を一貫して補間可能であり、ローレンツ不変性を保つことができるか？
• RQ5 特殊ケース $s=0$ および $s=1$ における正確な代数的構造（例：コプロダクト、反作用素、$R$-行列）は何か？ それらは既知のモデルとどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、$Π$-ミンコフスキー空間とスナイダータイプ非可換空間の間を補間する1パラメータ族のリー代数的変形を構築し、代数的領域ではポincare代数が不変に保たれる。
• $s=0$ の場合、フレームワークは $Π$-変形空間に還元され、コプロダクトは閉形式で与えられる：$\triangle D_\mu = D_\mu \otimes Z^{-1} + \mathbf{1} \otimes D_\mu + ia_\mu(D_\alpha Z) \otimes D^\alpha - \frac{ia_\mu}{2}\square Z \otimes iaD$、ここで $Z^{-1} = -iaD + \sqrt{1 - a^2D^2}$ である。
• 一般化されたダランベール作用素は $\square = \frac{2}{a^2}(1 - \sqrt{1 - a^2D^2})$ として導出され、$Π$-変形極限では標準形に還元される。
• ローレンツ生成子は $M_{\mu\nu} = (\hat{x}_\mu D_\nu - \hat{x}_\nu D_\mu)Z$ として表現され、変形フレームワーク内での $Z$-依存構造が明確に現れる。
• 変形されたヘイゼンベルク＝ヴァイエルシュトラウス代数は $[D_\mu, \hat{x}_\nu] = \eta_{\mu\nu}Z^{-1} + ia_\mu D_\nu$ で与えられ、$Z^{-1} = \sqrt{1 + sD^2}$ である。これは交換関係を一般化する。
• 本フレームワークは、$Π$-変形スナイダー空間からスナイダータイプ空間への一般写像を提供し、$\hat{x}_\mu Z \hat{x}_\nu = \hat{x}_\nu Z \hat{x}_\mu$ が成り立つことから、一貫した $Z$-ねじれ交換関係構造が確立される。