[論文レビュー] Lie algebras and around: selected questions

Pasha Zusmanovich|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、カシューリング双対オペラッドから生じるテンソル積リーリング代数のコホモロジー、部分代数の和として分解可能な代数、特異的2次元現象、およびアドー、ホワイトヘッド、バナッハの古典的定理の一般化という、リーリング代数論における未解決問題を調査する。コホモロジー計算のためのヤング図に基づくスペクトル系列の手法を提案し、多くの微分が消えるという点で、(リーリング、可換的結合的)ペアが特異に特別であることを特定する。

ABSTRACT

Several open questions are discussed. The topics include cohomology of current and related Lie algebras, algebras represented as the sum of subalgebras, structures and phenomena peculiar to characteristic $2$, and variations on themes of Ado, Whitehead, and Banach.

研究の動機と目的

• カシューリング双対オペラッド上でのテンソル積として構成されたリーリング代数のコホモロジーを計算する一般的手法を開発すること。これは、現在のリーリング代数に対して既知の結果を拡張することを目的とする。
• ヤンググラフにおける多くの微分が消えることでスペクトル系列が可能となる。(リーリング、可換的結合的)ペアが、他のオペラッドペアとは異なり、なぜ特異に特別であるかを理解すること。
• 特に特異的2次元において、冪零部分代数の和として表現されるリーリング代数の構造とコホモロジカル性質を調査すること。
• 第二ホワイトヘッド補題やアドーの定理といった古典的結果の、特異的2次元に依存しない一般化を探索すること。
• バナッハに帰属する問いに触発され、対称的三項写像を二項写像の重ね合わせとして表現できるかを分析すること。

提案手法

• チェヴァリ・エイレンバーグ複体を用い、外積代数 $\bigwedge^n(A \otimes B)$ をカウチの公式を用いて、ヤング図でインデックス付けられた既約表現に分解する。
• 双対複体に微分を構成し、それを頂点が $Y_\lambda(A)^* \otimes Y_{\lambda^\sim}(B)^*$ であるグラフとして可視化する。辺は微分の成分を表す。
• ヤンググラフ分解にスペクトル系列技法を適用し、特に多くの微分が消える場合、特に (リーリング、可換的結合的) 場合に注目する。
• 表現論とオペラッド双対性を用いて、現在のリーリング代数 $L \otimes A$ を、任意のカシューリング双対オペラッドペアから得られる代数に一般化する。
• 微分作用素とモジュール拡張を用い、$\mathbb{N}$-次数付き設定における冪零半径を持つリーリング代数の可解性に関する結果を一般化する。
• 組合せ的数え上げを用いて、二項写像の重ね合わせによる表現可能な三項写像の数を数え、左・右・可換的結合的ケースを区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤンググラフにおけるチェヴァリ・エイレンバーグ複体で、(リーリング、可換的結合的)オペラッドペアがなぜ多くの微分が消えるという特異な性質を持つのか。
• RQ2 どのカシューリング双対オペラッドペア、あるいはそのようなオペラッド上に定義された特定の代数に対して、多くの微分が消えるのか。特に左・右ノヴィコフ代数の場合に注目する。
• RQ3 代数的閉体上の正の特異的2次元の有限次元リーリング代数で、すべての有限次元モジュールにおいて第二コホモロジーが消えるのは、1次元リーリング代数のみであるか。
• RQ4 第二ホワイトヘッド補題およびその逆が、ジョルダン代数、代数的代数、リーリング三重系などの他の非結合的代数に対しても成り立つか。
• RQ5 任意の有限集合上で定義された対称的三項写像 $f(x,y,z)$ は、ある可換二項演算 $*$ に対して $f(x,y,z) = (x*y)*z$ として常に表現可能か。

主な発見

• カシューリング双対オペラッドペアの中で、(リーリング、可換的結合的)ペアは、ヤンググラフにおいて約半数の微分が消えるという点で、唯一特異に特別である。これによりコホモロジー計算のためのスペクトル系列が可能になる。
• 現在のリーリング代数 $L \otimes A$ に対して、スペクトル系列の手法により、$\mathrm{H}^*(L \otimes A, K)$ を低次の $L$ と $A$ の不変量の言いかえで表現できる。
• 特異的2次元では、ケーゲル＝コストリキン予想は成立しない。3次元の $\mathfrak{sl}_2$ の類似に対して反例が存在し、2つの冪零部分代数の和が可解であるとは限らないことが示された。
• 3要素の集合上で、$f(x,y,z) = (x*y)*z$ の形で表現可能な三項写像の数は19,292であり、右結合的形では38,472である。
• $n=3$ のとき、左結合的二項写像による表現可能な対称的三項写像の数は48であり、これは可換二項写像による表現可能な数と一致する。
• 数列 $T_L(n)$, $T_{LR}(n)$, および $T_{comm}(n)$ は $n=1,2,3$ においてまだ OEIS に登録されておらず、$T_{comm}(n)$ の値と一致する既知の整数列は存在しない。