[論文レビュー] Lie Algebras and Braided Geometry

Shahn Majid|ArXiv.org|Nov 18, 1993

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、任意のリー代数または超リー代数に対して、標準的なバーティングを導入し、それらの普遍包あらゆる代数がバーティング可換座標をもつ平坦空間として自然に構造を持つことを示している。主な貢献は、$q$-ミンコフスキー空間を、バーティングリー代数 $gl_{2,q}$ の包あらゆる代数として再解釈する新しい枠組みを提供することであり、$q=1$ で計量の符号型が固定され、従来の定式化における曇りを解消している。

ABSTRACT

We show that every Lie algebra or superLie algebra has a canonical braiding on it, and that in terms of this its enveloping algebra appears as a flat space with braided-commuting coordinate functions. This also gives a new point of view about $q$-Minkowski space which arises in a similar way as the enveloping algebra of the braided Lie algebra $gl_{2,q}$. Our point of view fixes the signature of the metric on $q$-Minkowski space and hence also of ordinary Minkowski space at $q=1$. We also describe an abstract construction for left-invariant integration on any braided group.

研究の動機と目的

• すべてのリー代数および超リー代数に標準的バーティング構造を確立すること。
• リー代数の普遍包あらゆる代数を、バーティング可換座標をもつ平坦空間として再解釈すること。
• バーティングリー代数構造を通じて、$q$-ミンコフスキー空間の一貫した幾何的解釈を提供すること。
• $q$-ミンコフスキー空間の計量符号型における曇りを解消し、$q=1$ における通常のミンコフスキー空間に対しても同様に適用できること。
• バーティング群における左不変性積分の一般的構成法を開発すること。

提案手法

• リー代数または超リー代数の基底ベクトル空間上のテンソル積に標準的バーティング作用素を定義する。
• このバーティングを用いて、普遍包あらゆる代数の交換関係をバーティング可換代数へと変形する。
• $gl_{2,q}$ を、その包あらゆる代数が $q$-ミンコフスキー空間を生じるバーティングリー代数として構成する。
• バーティング可換構造を用いて、非伝統的交換関係をもつ平坦空間を定義する。
• バーティング構造を用いて、バーティング群における左不変性積分の一般式を導出する。
• バーティング可換性を活用して、$q$-ミンコフスキー空間の計量符号型の一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のリー代数または超リー代数に標準的バーティングを定義できるか？
• RQ2 リー代数の普遍包あらゆる代数は、バーティング可換座標をもつ平坦空間とどのように関係するか？
• RQ3 バーティングリー代数の観点から、$q$-ミンコフスキー空間の幾何的解釈は何か？
• RQ4 バーティング枠組みは、$q$-ミンコフスキー空間の計量符号型における曇りをどのように解消するか？
• RQ5 このバーティング幾何学を用いて、バーティング群における左不変性積分の一般的構成法は存在するか？

主な発見

• 任意のリー代数または超リー代数は、その基底ベクトル空間に標準的バーティングを備える。
• このバーティングの下で、リー代数の普遍包あらゆる代数は、バーティング可換座標関数をもつ平坦空間へと変換される。
• $q$-ミンコフスキー空間は、自然にバーティングリー代数 $gl_{2,q}$ の包あらゆる代数として生じ、$q=1$ で計量符号型が固定される。
• バーティング幾何学の枠組みにより、$q$-ミンコフスキー空間における計量の一貫的かつ曇りのない定義が可能になる。
• バーティング可換構造を用いて、任意のバーティング群における左不変性積分の一般的構成が得られる。
• このアプローチにより、バーティングリー代数の観点から、量子群と非可換幾何学の取り扱いが統一される。