[論文レビュー] Lie algebras of differential operators: The universal ring

Helge Øystein Maakestad|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、可換環上の加群における非平坦接続のための普遍的環 $\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$ を導入し、平坦接続に限らない D-加群理論を一般化する。非アーベル的 $\operatorname{D}$-リー代数の拡張を用いて、$A$ がネーター的で、加群が有限生成であるとき、$\operatorname{Diff}(E)$ のネーター的部分環を構成する。これにより、非平坦接続に対する特徴的多様体とホロノミーの定義が可能となり、非ネーター的環 $\operatorname{U}$ 上での $\operatorname{Ext}$ および $\operatorname{Tor}$ を用いたコホモロジーとホモロジーの定義も可能になる。

ABSTRACT

The aim of this note is to prove various general properties of a generalization of the full module of first order differential operators on a commutative ring - a $\operatorname{D}$-Lie algebra. A $\operatorname{D}$-Lie algebra $ ilde{L}$ is a Lie-Rinehart algebra over $A/k$ equipped with an $A\otimes_k A$-module structure that is compatible with the Lie-structure. It may be viewed as a simultaneous generalization of a Lie-Rinehart algebra and an Atiyah algebra with additional structure. Given a $\operatorname{D}$-Lie algebra $ ilde{L}$ and an arbitrary connection $( ho, E)$ we construct the universal ring $ ilde{U}^{\otimes}( ilde{L}, ho)$ of the connection $( ho, E)$. The associative unital ring $ ilde{U}^{\otimes}( ilde{L}, ho)$ is in the case when $A$ is Noetherian and $ ilde{L}$ and $E$ finitely generated $A$-modules, an almost commutative Noetherian sub ring of $\operatorname{Diff}(E)$ - the ring of differential operators on $E$. It is constructed using non-abelian extensions of $\operatorname{D}$-Lie algebras. The non-flat connection $( ho, E)$ is a finitely generated $ ilde{U}^{\otimes}( ilde{L}, ho)$-module, hence we may speak of the characteristic variety $\operatorname{Char}( ho,E)$ of $( ho, E)$ in the sense of $D$-modules. We may define the notion of holonomicity for non-flat connections using the universal ring $ ilde{U}^{\otimes}( ilde{L}, ho)$. This was previously done for flat connections. We also define cohomology and homology of arbitrary non-flat connections. The cohomology and homology of a non-flat connection $( ho,E)$ is defined using $\operatorname{Ext}$ and $\operatorname{Tor}$-groups of a non-Noetherian ring $\operatorname{U}$. In the case when the $A$-module $E$ is finitely generated we may always calculate cohomology and homology using a Noetherian quotient of $\operatorname{U}$. This was previously done for flat connections.

研究の動機と目的

• 任意の接続に対して普遍的環を構成することにより、平坦接続に限らない D-加群理論を一般化すること。
• 普遍的環 $\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$ を用いて、非平坦接続に対するホロノミーと特徴的多様体を定義すること。
• 非ネーター的環上での非平坦接続に対して、$\operatorname{Ext}$ および $\operatorname{Tor}$ を用いてコホモロジーおよびホモロジー不変量を拡張すること。
• 加群 $E$ が有限生成であるとき、コホモロジーおよびホモロジーがネーター的商を用いて計算可能であることを示すことにより、計算可能性を保証すること。

提案手法

• 非アーベル的 $\operatorname{D}$-リー代数の拡張を用いて、普遍的環 $\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$ を構成する。
• $\tilde{L}$ に $A \otimes_k A$-加群構造を、そのリー構造と整合的に与える。これは、リー＝リネルトおよびアティヤ代数の一般化である。
• 非平坦接続に対して、$\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$ のスペクトルの部分集合として特徴的多様体 $\operatorname{Char}(\rho, E)$ を定義する。
• 非ネーター的環 $\operatorname{U}$ 上での $\operatorname{Ext}$ および $\operatorname{Tor}$-群を用いて、接続 $(\rho, E)$ のコホモロジーおよびホモロジーを定義する。
• $E$ が有限生成であるとき、コホモロジーおよびホモロジーが $\operatorname{U}$ のネーター的商を用いて計算可能であることを示し、計算可能性を保証する。
• 普遍的環の枠組みに適合させることで、古典的基準を非平坦接続に一般化し、ホロノミーを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦性の仮定がなくても、普遍的環の構成を用いて D-加群理論を非平坦接続へどのように拡張できるか。
• RQ2 平坦性が欠如する状況下で、非平坦接続に対する特徴的多様体の適切な一般化は何か。
• RQ3 非ネーター的環上での $\operatorname{Ext}$ および $\operatorname{Tor}$ を用いて、非平坦接続に対するコホモロジーおよびホモロジーを定義できるか。
• RQ4 非平坦接続のコホモロジーおよびホモロジーがどのようにして効率的に計算可能になるか。
• RQ5 普遍的環 $\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$ を用いて、非平坦接続に対するホロノミーの概念をどのように一般化できるか。

主な発見

• $A$ がネーター的で、$\tilde{L}$、$E$ が $A$-加群として有限生成であるとき、普遍的環 $\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$ は $\operatorname{Diff}(E)$ のほぼ可換なネーター的部分環である。
• 非平坦接続 $(\rho, E)$ は、$\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$ 上の有限生成加群となり、その特徴的多様体 $\operatorname{Char}(\rho, E)$ を定義可能になる。
• 非平坦接続に対するホロノミーは、普遍的環を用いて定義され、平坦接続からの古典的概念の一般化である。
• $(\rho, E)$ のコホモロジーおよびホモロジーは、非ネーター的環 $\operatorname{U}$ 上での $\operatorname{Ext}$ および $\operatorname{Tor}$-群を用いて定義される。
• $E$ が有限生成であるとき、コホモロジーおよびホモロジーは $\operatorname{U}$ のネーター的商を用いて計算可能であり、実用的な計算可能性が保証される。
• 非アーベル的 $\operatorname{D}$-リー代数の拡張による構成は、D-加群の不変量を非平坦設定へ体系的に拡張するフレームワークを提供する。