[論文レビュー] Lie Algebroids Associated to Poisson Actions

Jiang-Hua Lu|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 1995

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ポアソン多様体 $P$ とその上にポアソンリー群 $G$ のポアソン作用をもつ場合、直接和 bundle $P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ 上にリー代数分岐を構成する。これは、変換と余接バンドルのリー代数分岐を相互作用表現を通じて統合したものである。主な結果として、作用が推移的である場合、アングル写像の核が $P$ 上のリー代数分岐をなすことが示され、ドリンフェルトの構成を一般化し、ポアソン同調空間におけるシンプレクティック葉と $G$-不変ポアソンコホロロジーの記述を可能にする。

ABSTRACT

This work is motivated by a result of Drinfeld on Poisson homogeneous spaces. For each Poisson manifold $P$ with a Poisson action by a Poisson Lie group $G$, we describe a Lie algebroid structure on the direct sum vector bundle $P imes {\frak g} \oplus T^*P$, where ${\frak g}$ is the Lie algebra of $G$. It is built out of the transformation Lie algebroid $P imes {\frak g}$ and the cotangent bundle Lie algebroid $T^*P$ together with a pair of representations of them on each other. When the action of $G$ on $P$ is transitive, the kernel of the anchor map of this Lie algebroid gives a Lie algebra bundle over $P$, the fibers of which are given by Drinfeld. As applications, we describe the symplectic leaves and the $G$-invariant Poisson cohomology of Poisson homogeneous $G$-spaces.

研究の動機と目的

• ポアソンリー群 $G$ がポアソン多様体 $P$ にポアソン作用する場合、$P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ 上に標準的なリー代数分岐構造を構成することで、ドリンフェルトの結果をポアソン同調空間へ一般化すること。
• 互いに適合する表現を通じて、変換リー代数分岐 $P \times \mathfrak{g}$ と余接バンドルリー代数分岐 $T^*P$ を統合し、新たなリー代数分岐を形成すること。
• 構成されたリー代数分岐を用いて、ポアソン同調 $G$-空間のシンプレクティック葉と $G$-不変ポアソンコホロロジーを特徴づけること。
• 推移的ポアソン作用の状況にまで拡張されたドリンフェルトのリー代数分岐構成を一般化する幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• ポアソンリー群 $G$ のリー代数 $\mathfrak{g}$ を用いて、直接和バンドル $P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ 上にリー代数分岐構造を構成する。
• 変換リー代数分岐 $P \times \mathfrak{g}$ と余接バンドルリー代数分岐 $T^*P$ の括弧を、相互作用表現を介して組み合わせることで、$P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ のセクション上に括弧を定義する。
• $G$ の $P$ への作用を用いて、$P \times \mathfrak{g}$ から $T^*P$ への表現と、その双対表現 $T^*P$ から $P \times \mathfrak{g}$ への表現を定義し、リー代数分岐公理と整合性を持つようにする。
• 表現の適合性条件を用いて、得られた括弧がジャコビ恒等式とライブニッツ則を満たすことを検証する。
• $P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ から接バンドル $TP$ へのアングル写像を定義し、$G$-作用に由来する基本ベクトル場と $P$ 上のポアソンテンソルの微分を統合する。
• 推移的作用の場合にアングル写像の核を解析し、それが $P$ 上のリー代数分岐をなすことを示し、ドリンフェルトの構成と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソンリー群 $G$ がポアソン多様体 $P$ にポアソン作用する場合、$P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ 上にどのようにリー代数分岐を構成できるか？
• RQ2 相互作用表現が、リー代数分岐の括弧を定義する際に果たす役割は何か？
• RQ3 推移的場合に、構成されたリー代数分岐のアングル写像の核は、ドリンフェルトのリー代数分岐とどのように関係するか？
• RQ4 このリー代数分岐の幾何を用いて、ポアソン同調 $G$-空間のシンプレクティック葉を記述できるか？
• RQ5 ポアソン同調 $G$-空間の $G$-不変ポアソンコホロロジーは、このリー代数分岐の構造からどのように導かれるか？

主な発見

• ポアソンリー群 $G$ がポアソン多様体 $P$ にポアソン作用する場合、直接和バンドル $P \times \mathfrak{g} \oplus T^*P$ は標準的なリー代数分岐構造を有する。
• 構成されたリー代数分岐のアングル写像は、$G$-作用に由来する基本ベクトル場と、$P$ 上のポアソンテンソルの微分を統合する。
• 推移的の場合、アングル写像の核は $P$ 上のリー代数分岐をなし、そのファイバーは安定化部分群のリー代数と同型であり、ドリンフェルトの結果を回復する。
• ポアソン同調 $G$-空間のシンプレクティック葉は、アングル写像の核によって定義される同調分布の葉に対応する。
• ポアソン同調 $G$-空間の $G$-不変ポアソンコホロロジーは、リー代数分岐を $G$-軌道に制限したもののコホロロジーと同型である。
• $P \times \mathfrak{g}$ と $T^*P$ 間の相互作用表現は、リー代数分岐の括弧を定義し、ポアソン構造と整合性を持つために不可欠である。