[論文レビュー] Lie cylinders and higher obstructions to deforming submanifolds

Marco Manetti|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2005

Geometry and complex manifolds被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、微分形式的リーレイの準同型 χ: L→M に付随するアーツィン環の函手 Defχ を導入する。ここで、接空間と障害空間は、χ のシリンダーの第1および第2コホロロジー群によって与えられる。この構成をヒルベルト関手およびブリル-ノイマン関手に適用し、ケーラー多様体内の滑らかな部分多様体を変形する際のすべての高次障害が、半正則性写像によって消えることを証明する。

ABSTRACT

Abstract. To every morphism χ: L→M of differential graded Lie algebras we associate a functors of artin rings Defχ whose tangent and obstruction spaces are respectively the first and second cohomology group of the cylinder of χ. Such construction applies to Hilbert and Brill-Noether functors and allow to prove with ease that every higher obstruction to deforming a smooth submanifold of a Kähler manifold is annihilated by the semiregularity map. Mathematics Subject Classification (2000): 13D10, 14D15.

研究の動機と目的

• 微分形式的リーレイ代数を用いた部分多様体の変形函手を統一的に扱う一般枠組みを構築すること。
• ケーラー多様体内の滑らかな部分多様体の変形理論における高次障害の役割を理解すること。
• シリンダー構成とヒルベルトおよびブリル-ノイマン関手などの古典的変形函手との関係を確立すること。
• 半正則性写像が部分多様体の変形におけるすべての高次障害を消滅させることを証明すること。
• dg リー代数準同型のシリンダーを用いた、障害空間を一元的に分析するコホロロジー的メカニズムを提供すること。

提案手法

• 微分形式的リーレイ代数の準同型 χ: L→M のシリンダーを構成し、これは写像コーンのホモトピー的置換として機能する。
• 接空間が H^1(cyl(χ)) で、障害空間が H^2(cyl(χ)) であるような変形函手 Defχ を定義する。
• ケーラー多様体内の部分多様体の正規バンドルおよび周囲幾何から生じる準同型にこの構成を適用する。
• シリンダー構成の函手的性質を活用し、Defχ をヒルベルト関手やブリル-ノイマン関手などの古典的変形函手と関連付ける。
• シリンダーのコホロロジー的構造を活用し、半正則性写像による障害の消滅を分析する。
• 半正則性写像がすべての高次障害を消滅させることを示すために、それらが写像の像として0であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分多様体の変形理論は、どのように微分形式的リーレイ代数を用いて一様に記述できるか？
• RQ2 シリンダー構成は、変形函手の接空間および障害空間をどのように符号化するか？
• RQ3 ケーラー幾何において、部分多様体の変形に関する高次障害はどの程度消えるか？
• RQ4 半正則性写像は、リーレイ代数準同型の文脈で、高次障害空間とどのように作用するか？
• RQ5 ヒルベルト関手およびブリル-ノイマン関手は、自然に dg リー代数準同型の枠組みに埋め込めるか？

主な発見

• 準同型 χ: L→M に付随する変形函手 Defχ は、接空間が H^1(cyl(χ)) に同型であり、障害空間が H^2(cyl(χ)) に同型である。
• Defχ の構成は、ヒルベルト関手およびブリル-ノイマン関手に自然に適用され、それらの変形理論的取り扱いを統一する。
• ケーラー多様体内の滑らかな部分多様体を変形する際のすべての高次障害は、半正則性写像によって消える。
• χ が部分多様体の埋め込みから生じるとき、半正則性写像は H^2(cyl(χ)) のコホロロジー的消滅因子として作用する。
• シリンダー構成は、変形理論における障害空間を分析するための標準的かつ計算可能な枠組みを提供する。
• 結果として、ケーラー幾何における部分多様体の変形の障害理論は、dg リー代数のシリンダーのコホロロジーによって支配されることを示した。