[論文レビュー] Lie elements in pre-Lie algebras, trees and cohomology operations

Martin Markl|ArXiv.org|Sep 13, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、平面木から構成される次数付き pre-Lie 代数上の微分写像の核として、自由 pre-Lie 代数内の Lie 要素を新たな形で特徴づける。主な結果は、ベクトル空間 V が生成する Lie 部分代数を、写像 d: pL(V) → pL¹(V) の核として特定することであり、これは単純な木レベルの作用に対応し、Lie 代数コホモロジー複体上の自然な作用を理解するための組合せ論的かつオペラッド的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We give a simple characterization of Lie elements in free pre-Lie algebras as elements of the kernel of a map between spaces of trees. We explain how this result is related to natural operations on the Chevalley-Eilenberg complex of a Lie algebra. We also indicate a possible relation to Loday's theory of triplettes.

研究の動機と目的

• 次数付き pre-Lie 代数上の微分写像を用いて、自由 pre-Lie 代数内の Lie 要素の新たな簡潔な特徴づけを提供すること。
• この特徴づけを Lie 代数の Chevalley-Eilenberg 複体上の自然な作用と関連付けること。
• Loday のオペラッド三重組理論および brace 代数に関する Deligne の予想との潜在的関係を探ること。
• 自然な作用のオペラッドのホモトピー型と Lie オペラッドとの間の関係を確立し、Tamarkin の予想を支援すること。
• 結果を他の二次的 Koszul オペラッドへ一般化し、このようなオペラッド上の自由代数内の Lie 要素の普遍的特徴づけを示唆すること。

提案手法

• 自由 pre-Lie 代数 pL(V) 及びその関連 Lie 代数 pL(V)ₗ を定義し、V が生成する Lie 要素の部分代数 L(V) に注目する。
• 次数 +1 のダミー生成子 ∘ を備えた次数付き pre-Lie 代数 pL⁎(V,∘) を構成し、pL(V) から pL¹(V) への写像 d: pL(V) → pL¹(V) を次数 +1 成分に定義する。
• 写像 d を平面根付き木上の組合せ論的作用に対応させ、具体的には内部頂点に ∘ を挿入するすべての方法の符号付き和として特定する。
• オペラッドの形式的枠組みおよび cobar コンストラクションの理論を用いて、d の核と V 上の自由 Lie 代数との関係を確立する。
• Chevalley-Eilenberg 複体にこの結果を適用し、d の核が自然な作用をモデル化する複体の零次コホモロジーに対応することを示す。
• Loday のオペラッド三重組の概念と関連づけ、特に (C, ⋆, Ass, Lie) が良い三重組であるかを分析し、核条件が古典的な原始的要素の特徴づけを一般化することを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由 pre-Lie 代数内の Lie 要素は、次数付き pre-Lie 代数上の自然な微分写像の核として特徴づけられるか？
• RQ2 この核条件は、Lie 代数の Chevalley-Eilenberg 複体上の自然な作用の構造とどのように関係するか？
• RQ3 Loday の三重組を通じた一般的なオペラッド的枠組みにおいて、このような微分写像の核が Lie オペラッドを回復するか？
• RQ4 この核条件は、自己同型的または可換的オペラッドを含む他の二次的 Koszul オペラッドへ一般化可能か？
• RQ5 微分写像 d を定義する複体は、コールーブ代数の cobar コンストラクションとして解釈可能か？そのコホモロジーは何か？

主な発見

• 自由 pre-Lie 代数 pL(V) 内の Lie 要素の部分代数 L(V) は、V 上の自由 Lie 代数に同型であり、第 3 章で新たな短い証明が与えられている。
• Lie 要素は、V と次数 +1 のダミー変数 ∘ を生成子として持つ次数付き自由 pre-Lie 代数の次数 +1 成分 pL¹(V) への写像 d: pL(V) → pL¹(V) の核として特徴づけられる。
• 写像 d は単純な木レベルの作用に対応する：平面根付き木の内部頂点に ∘ を挿入するすべての方法の符号付き和として、命題 4.8 及び推論 4.9 で形式化されている。
• この特徴づけは、H⁰(rpL⁎) ≅ Lie を示唆し、Chevalley-Eilenberg 複体上の自然な作用のオペラッドが Lie オペラッドのホモトピー型を持つという Tamarkin の予想を支持する。
• 結果は一般化が可能であると考えられる：任意の二次的 Koszul オペラッド P に対して、写像 d: S⁰ₚ∞ → S¹ₚ∞ の核は Lie オペラッドに同型である。これは (3) 及び (1.5) で予想されている。
• この構成は、コホモロジー複体内に内在する Lie ブラケットを理解するための新しい組合せ論的枠組みを提供し、Deligne の予想および brace 代数の構造への潜在的影響を有する。