[論文レビュー] Lie group computation of finite difference schemes

Emma Hoarau, Claire David|ArXiv.org|Nov 29, 2006

Numerical methods for differential equations参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、差分スキームの微分近似を用いて、Lie群の対称性を決定するMathematicaベースの記号計算パッケージを提示する。スキームの微分表現にLie群解析を適用することで、保存されたり損なわれたりする対称性を特定する。この手法により、FTCSスキームが時間および空間の並進対称性、および修正された拡大群を保存するが、ガリレオ変換および射影的不変性を失うことが示された。

ABSTRACT

A Mathematica based program has been elaborated in order to determine the symmetry group of a finite difference equation, by means of its differential representation. The package provides functions which enable us to solve the determining equations of the related Lie group

研究の動機と目的

• 有限差分スキームのLie群解析を自動化する記号計算ツールの開発を目的とする。
• 元のPDEに由来する連続的対称性のうち、数値離散化によって保存されたり破壊されたりするものを特定すること。
• 群論的手法を用いて、対称性を保存する有限差分スキームを体系的に構築すること。
• 微分近似の次数に応じた、対称性同定の計算コストの関数としての評価。

提案手法

• 本手法は、有限差分スキームの微分近似にLie群理論を適用し、それをPDE系として扱う。
• ベクトル場をジェット空間に至るまで拡張することにより得られる決定方程式から、無限小生成子を計算する。
• 独立変数、従属変数、ステップサイズ変数（x, t, u, h, τ, ν）の多項式展開を用いて無限小をパrameter化する。
• パッケージは、Mathematicaの記号計算機能を活用して代数的決定方程式の解法を自動化する。
• 決定系の解から対称性群を再構成し、標準的スキームを用いて結果の妥当性を検証する。
• 計算性能は、微分近似次数が異なるスキームにおける実行時間によって測定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた有限差分スキームが、元のPDEのどの連続的対称性を保存するか？
• RQ2 微分近似の次数が、対称性同定の計算複雑度に与える影響は何か？
• RQ3 体系的な記号計算パッケージは、有限差分スキームのLie対称性を自動的に計算可能か？
• RQ4 特にFTCSやLax-Wendroffのような標準的スキームにおいて、離散化によって失われる対称性は何か？
• RQ5 ステップサイズ変数（h, τ, ν）は、対称性群の下でどのように変換されるか？これによりスキームの不変性にどのような含意が生じるか？

主な発見

• FTCSスキームは、時間および空間の並進対称性に加え、x, t, u, h, τ を含む2つの拡大対称性から生成される4次元Lie群を保存する。
• FTCSスキームの対称性代数は、Burgers方程式の拡大代数 A_d と、ステップサイズに作用する A_{h,τ} の直和 A_d ⊕ A_{h,τ} に同型である。
• FTCSスキームは、離散化のため、ガリレオ変換および射影的不変性を失い、対称性の破れが生じる。
• Lax-WendroffスキームおよびCrank-Nicolsonスキームも、同じ4パラメータの対称性群を有しており、類似した対称性構造を示している。
• 微分近似の次数が上昇するに従い、実行時間が急激に増加する：4次近似（FTCS）で395.2秒、6次近似（Lax-Wendroff）で972.2秒、Crank-Nicolsonで906.6秒。
• 記号計算パッケージは、標準PC上でMathematica 5.2を用いて、すべてのテストスキームの対称性を正常に計算でき、実現可能性とスケーラビリティを示した。