[論文レビュー] Lie group variational integrators for rigid body problems using quaternions

Xuefeng Shen, Melvin Leok|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Numerical methods for differential equations参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、S³の内在的リー群構造を活用することで制約を回避する単位クォータニオンを用いた剛体運動のリー群変分積分法を提案する。この手法は、長時間にわたりシンプレクティック性、エネルギー、単位クォータニオンノルム、角運動量を保存する。航空宇宙工学、ロボット工学、コンピューターグラフィックス分野における計算効率と幾何的正確性に優れる。

ABSTRACT

Rigid body dynamics on the rotation group have typically been represented in terms of rotation matrices, unit quaternions, or local coordinates, such as Euler angles. Due to the coordinate singularities associated with local coordinate charts, it is common in engineering applications to adopt the unit quaternion representation, and the numerical simulations typically impose the unit length condition using constraints or by normalization at each step. From the perspective of geometric structure-preserving, such approaches are undesirable as they are either computationally less efficient, or interfere with the preservation of other geometric properties of the dynamics. In this paper, we adopt the approach used in constructing Lie group variational integrators for rigid body dynamics on the rotation group to the representation in terms of unit quaternions. In particular, the rigid body dynamics is lifted to unit quaternions, and the Lie group structure of unit quaternions is used to represent tangent vector intrinsically, thereby avoiding the use of a Lagrange multiplier. A Lie group variational integrator in the unit quaternion representation is derived, and numerical results are presented.

研究の動機と目的

• 制約や正規化に依存する従来の単位クォータニオン手法の限界を解消し、幾何的構造の保存を損なわないようにする。
• 剛体運動のための、グローバルに有効で構造を保存する数値積分法を、単位クォータニオン表現を用いて開発する。
• 局所座標やラグランジュ乗数を用いずに、シンプレクティック性、エネルギー、単位ノルム、角運動量といった重要な幾何的不変量を保存する。
• 航空宇宙やコンピューターグラフィックス分野で標準的であるクォータニオンを用いる応用分野において、効率的かつ安定した長期間シミュレーションを可能にする。
• リー群変分積分法の理論と工学的実装のギャップを埋め、広く用いられている単位クォータニオン形式に適応したリー群変分積分法を提供する。

提案手法

• 剛体運動をSO(3)から、クォータニオン乗法に関してリー群をなす単位クォータニオン群S³に持ち上げる。
• 接ベクトルをS³のリー代数（R³に同一視可能）を用いて内在的に表現することで、明示的な制約や正規化の必要性を排除する。
• 指数写像と群構造を用いてQ × Q上に離散ラグランジアンを構築し、離散方程式が連続系の幾何的性質を継承することを保証する。
• 離散オイラー＝ラグランジュ方程式と対応するシンプレクティック写像を、離散リーマン変換により導出し、運動量とシンプレクティック構造を保存する。
• 各時間ステップにおける非線形方程式系を解くためにBroyden型法を実装し、正確なヤコビ行列の計算を回避する。
• 制約や射影ではなく、群構造そのものによって単位クォータニオン条件が内在的に保存されるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約や正規化に依存せずに、単位クォータニオンを用いたリー群変分積分法を剛体運動に構築できるか？
• RQ2 このような手法は、長時間積分においてもシンプレクティック性、エネルギー、クォータニオンの単位ノルムを保存するか？
• RQ3 エネルギーおよびノルム保存の観点から、標準的なクォータニオンベースの手法と比較して、本手法の性能はどのように異なるか？
• RQ4 群作用の不変性に起因する離散ノネールの定理により、角運動量や他の保存量を保存できるか？
• RQ5 行列ベースのリー群積分法と比較して、本手法の計算コストは低く抑えられつつ幾何的正確性を維持できるか？

主な発見

• 提案手法は1000時間単位の積分において、ノルム誤差が10⁻¹⁴オーダーで抑えられ、内在的な制約満たしが確認された。
• エネルギー誤差は1000時間単位の積分において、10⁻⁷レベルで有界かつ安定しており、シンプレクティック性に起因する長期的エネルギー安定性が裏付けられた。
• 全角運動量誤差は約10⁻¹¹で有界であり、群不変性に起因する離散ノネールの定理により保存が確認された。
• 計算効率が高く、クォータニオンは4スカラーで表現可能（回転行列の9スカラーに比べ）、クォータニオン乗算は16回の乗算で可能（行列乗算の27回に比べ）。
• ラグランジュ乗数を用いず、正規化ステップも不要であるため、計算オーバーヘッドが低減され、幾何的構造が保持された。
• 数値結果から、中心力場下の剛体運動のシミュレーションにおいて、エネルギーおよびノルムのずれがない優れた長期的安定性と正確性が示された。